База топологии.

[main.c]

Someone в сообщении #890116 писал(а):

А в точке $0$? Ни один из этих интервалов точку $0$ не содержит.

Ну тут подразумевалось, что само множество X тоже входит в базу.

Someone в сообщении #890116 писал(а):

$=\bigcup\limits_{a_i>\sqrt{2}}(a_i,+\infty)$ ?

Да, действительно получается так .

Someone в сообщении #890116 писал(а):

Какой базы? Если Вам задана только предбаза, то откуда взялась ещё и база?

Это неверное док-во. Вот верное.
Пусть $\Delta$ есть предбаза, тогда объединение элементов предбазы покрывает множество $X$, в противном случае(не покрывает), объединение совокупности всевозможных конечных пересечений элементов предбазы тоже не покрывает множество $X$, чего не может быть, так как эта совокупность по определению является базой.
В обратную сторону. Пусть $\Delta$ набор открытых множеств, объединение которых покрывает $X$. Докажем, что совокупность $B$ всевозможных конечных пересечений элементов из этого набора является базой.
1. Множество $B$ покрывает $X$, так как $\Delta$ покрывает.
2. Любое пересечение из $B$ представимо в виде объединения элементов из $B$. Очевидно это так, так как пересечение конечных пересечений само является конечным пересечением. А значит является элементом из $B$.
Этих двух пунктов достаточно, чтобы утверждать, что $B$ - база.(Тут я использую ранее доказанную в книге лемму). А значит $\Delta$ - предбаза.

[Someone]

main.c в сообщении #890137 писал(а):

Пусть $\Delta$ набор открытых множеств

Пока ещё не открытых. Открытыми они станут после того, как Вы определите топологию.

[main.c]

Ладно, соглашусь.

Цитата:

Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше?

[Someone]

main.c в сообщении #890168 писал(а):

Ладно, соглашусь.

Цитата:

Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше?

Нет, ещё хуже. Вам ведь надо показать, что заданное семейство множеств является предбазой некоторой топологии, а Вы, ещё не доказав этого, уже объявляете множества открытыми в невесть какой топологии.

Правильно должно выглядеть так: пусть $\Delta$ — некоторое покрытие множества $X$.

[main.c]

Someone в сообщении #890247 писал(а):

main.c в сообщении #890168 писал(а):

Ладно, соглашусь.

Цитата:

Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше?

Нет, ещё хуже. Вам ведь надо показать, что заданное семейство множеств является предбазой некоторой топологии, а Вы, ещё не доказав этого, уже объявляете множества открытыми в невесть какой топологии.

Правильно должно выглядеть так: пусть $\Delta$ — некоторое покрытие множества $X$.

$\Delta$ - это произвольный набор подмножеств из $X$. Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

[demolishka]

main.c в сообщении #890265 писал(а):

Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

Частью какой-либо топологии набор подмножеств то является, но вот эта топология, в общем случае, не имеет никакого отношения к вашему доказательству.

[main.c]

demolishka в сообщении #890293 писал(а):

main.c в сообщении #890265 писал(а):

Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

Частью какой-либо топологии набор подмножеств то является, но вот эта топология, в общем случае, не имеет никакого отношения к вашему доказательству.

Принципиальной роли в доказательстве она не играет, я и не спорю, но отношение она имеет самое непосредственное. Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

[deep down]

patzer2097 в сообщении #889999 писал(а):

main.c в сообщении #889992
писал(а):
как её можно уменьшить??? по включению!!! например, удалить интервал (0,1)!!!

Вопрос был о любой базе. А так согласен, любое можно выкинуть.

[Someone]

main.c в сообщении #890329 писал(а):

Принципиальной роли в доказательстве она не играет, я и не спорю, но отношение она имеет самое непосредственное. Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

То есть, ваше доказательство состоит в том, что Вы заранее предполагаете верным именно то, что требуется доказать?
Кстати, что значит "получили"? Семейство множеств $\Delta$ нам задано до начала доказательства. И нам надо доказать, что оно является предбазой некоторой топологии.

[main.c]

Someone в сообщении #890333 писал(а):

То есть, ваше доказательство состоит в том, что Вы заранее предполагаете верным именно то, что требуется доказать?

Я лишь предположил, что это открытые множества некоторой топологии. А доказываю я другое. Вы дальше сами написали, что именно мне нужно доказать.

Someone в сообщении #890333 писал(а):

Кстати, что значит "получили"? Семейство множеств $\Delta$ нам задано до начала доказательства. И нам надо доказать, что оно является предбазой некоторой топологии.

Вы поняли о чём речь.

[demolishka]

main.c писал(а):

Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

Хорошо, для меня некоторая топология - дискретная. Вы хотите сказать, что любое покрытие множества X - это всегда предбаза базы дискретной топологии?

[main.c]

demolishka в сообщении #890339 писал(а):

main.c писал(а):

Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

Хорошо, для меня некоторая топология - дискретная. Вы хотите сказать, что любое покрытие множества X - это всегда предбаза базы дискретной топологии?

Всё, понял, спасибо! В общем случае это предбаза другой топологии.

-- 26.07.2014, 12:26 --

Осталось разобраться ещё с несколькими вопросами.

Цитата:

6. Докажите, что всевозможные бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, образуют базу некоторой топологии в N.
7. С помощью этой топологии докажите, что множество простых чисел бесконечно.
Воспользуйтесь тем, что в противном случае множество {1} было бы открытым (?!).

Ну 6 - доказывается очень просто. Пусть $B$ - множество всевозможных бесконечных арифметических прогрессий. Пусть $\Omega$ - множество всех возможных объединений элементов из $B$.
1. Это множество покрывает $N$
2. Пересечение 2 элементов из $B$ очевидно может быть представлено, как объединение элементов из $B$.
Так что множество $B$ всевозможных бесконечных арифметических прогрессий является базой в $N$.
А вот с 7 мне не понятно. Причём тут простые числа?

[Someone]

main.c в сообщении #890390 писал(а):

Всё, понял, спасибо! В общем случае это предбаза другой топологии.

К тому же, для доказательства это (открытость элементов семейства $\Delta$) совсем не нужно, а ненужные предположения, отсутствующие в условии, очень плохо смотрятся. Поэтому я к Вам и прицепился.

main.c в сообщении #890390 писал(а):

Пересечение 2 элементов из $B$ очевидно может быть представлено, как объединение элементов из $B$.

Неплохо было бы ваши рассуждения увидеть. На самом деле это пересечение является элементом $B$. Хотя это не требуется, а ваше утверждение практически очевидно.

main.c в сообщении #890390 писал(а):

А вот с 7 мне не понятно. Причём тут простые числа?

Арифметическая прогрессия, первый член и разность которой равны простому числу $p$, содержит все натуральные числа, делящиеся на $p$. Каждое натуральное число, большее единицы, делится на какое-нибудь простое число.
Некоторые (микроскопические) различия в рассуждениях возникают в связи с тем, что иногда ноль считают натуральным числом, а иногда не считают.

[main.c]

Someone в сообщении #890413 писал(а):

На самом деле это пересечение является элементом $B$.

Ну не совсем так, ведь если мы возьмём непересекающиеся арифметические прогрессии, то их пересечение будет пустым множеством, а в $B$ нет пустого множества. А в остальных случаях да, согласен - является элементом из $B$.

Someone в сообщении #890413 писал(а):

Арифметическая прогрессия, первый член и разность которой равны простому числу $p$, содержит все натуральные числа, делящиеся на $p$. Каждое натуральное число, большее единицы, делится на какое-нибудь простое число.
Некоторые (микроскопические) различия в рассуждениях возникают в связи с тем, что иногда ноль считают натуральным числом, а иногда не считают.

Мне интересно вот это указание.

Цитата:

Воспользуйтесь тем, что в противном случае множество {1} было бы открытым (?!).

Не совсем понимаю, как из конечности простых чисел пришли к тому, что {1} - открыто.

[Someone]

main.c в сообщении #890416 писал(а):

Ну не совсем так, ведь если мы возьмём непересекающиеся арифметические прогрессии, то их пересечение будет пустым множеством, а в $B$ нет пустого множества.

Уточнение принимается.

main.c в сообщении #890416 писал(а):

Не совсем понимаю, как из конечности простых чисел пришли к тому, что {1} - открыто.

Попробуйте доказать, что арифметическая прогрессия является замкнутым множеством.