2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 12:01 
Someone в сообщении #890116 писал(а):
А в точке $0$? Ни один из этих интервалов точку $0$ не содержит.

Ну тут подразумевалось, что само множество X тоже входит в базу.
Someone в сообщении #890116 писал(а):
$=\bigcup\limits_{a_i>\sqrt{2}}(a_i,+\infty)$ ?

Да, действительно получается так :D .
Someone в сообщении #890116 писал(а):
Какой базы? Если Вам задана только предбаза, то откуда взялась ещё и база?

Это неверное док-во. Вот верное.
Пусть $\Delta$ есть предбаза, тогда объединение элементов предбазы покрывает множество $X$, в противном случае(не покрывает), объединение совокупности всевозможных конечных пересечений элементов предбазы тоже не покрывает множество $X$, чего не может быть, так как эта совокупность по определению является базой.
В обратную сторону. Пусть $\Delta$ набор открытых множеств, объединение которых покрывает $X$. Докажем, что совокупность $B$ всевозможных конечных пересечений элементов из этого набора является базой.
1. Множество $B$ покрывает $X$, так как $\Delta$ покрывает.
2. Любое пересечение из $B$ представимо в виде объединения элементов из $B$. Очевидно это так, так как пересечение конечных пересечений само является конечным пересечением. А значит является элементом из $B$.
Этих двух пунктов достаточно, чтобы утверждать, что $B$ - база.(Тут я использую ранее доказанную в книге лемму). А значит $\Delta$ - предбаза.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 12:06 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #890137 писал(а):
Пусть $\Delta$ набор открытых множеств
Пока ещё не открытых. Открытыми они станут после того, как Вы определите топологию.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 12:53 
Ладно, соглашусь.
Цитата:
Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше? :D

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 16:48 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #890168 писал(а):
Ладно, соглашусь.
Цитата:
Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше? :D
Нет, ещё хуже. Вам ведь надо показать, что заданное семейство множеств является предбазой некоторой топологии, а Вы, ещё не доказав этого, уже объявляете множества открытыми в невесть какой топологии.

Правильно должно выглядеть так: пусть $\Delta$ — некоторое покрытие множества $X$.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 18:25 
Someone в сообщении #890247 писал(а):
main.c в сообщении #890168 писал(а):
Ладно, соглашусь.
Цитата:
Пусть $\Delta$ набор открытых множеств некоторой топологической структуры на $X$, объединение которых покрывает $X$.

Так лучше? :D
Нет, ещё хуже. Вам ведь надо показать, что заданное семейство множеств является предбазой некоторой топологии, а Вы, ещё не доказав этого, уже объявляете множества открытыми в невесть какой топологии.

Правильно должно выглядеть так: пусть $\Delta$ — некоторое покрытие множества $X$.

$\Delta$ - это произвольный набор подмножеств из $X$. Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение25.07.2014, 21:04 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #890265 писал(а):
Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

Частью какой-либо топологии набор подмножеств то является, но вот эта топология, в общем случае, не имеет никакого отношения к вашему доказательству.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 00:23 
demolishka в сообщении #890293 писал(а):
main.c в сообщении #890265 писал(а):
Что мне мешает сказать, что это множества из какой-то топологии? Ничего не мешает, потому что любой набор множеств является частью какой-либо топологии. Мы просто не конкретизирем какой, нам без разницы. Вы с этим не согласны?

Частью какой-либо топологии набор подмножеств то является, но вот эта топология, в общем случае, не имеет никакого отношения к вашему доказательству.

Принципиальной роли в доказательстве она не играет, я и не спорю, но отношение она имеет самое непосредственное. Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 00:36 
patzer2097 в сообщении #889999 писал(а):
main.c в сообщении #889992
писал(а):
как её можно уменьшить??? по включению!!! например, удалить интервал (0,1)!!!

Вопрос был о любой базе. А так согласен, любое можно выкинуть.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 00:37 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #890329 писал(а):
Принципиальной роли в доказательстве она не играет, я и не спорю, но отношение она имеет самое непосредственное. Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.
То есть, ваше доказательство состоит в том, что Вы заранее предполагаете верным именно то, что требуется доказать?
Кстати, что значит "получили"? Семейство множеств $\Delta$ нам задано до начала доказательства. И нам надо доказать, что оно является предбазой некоторой топологии.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 01:57 
Someone в сообщении #890333 писал(а):
То есть, ваше доказательство состоит в том, что Вы заранее предполагаете верным именно то, что требуется доказать?

Я лишь предположил, что это открытые множества некоторой топологии. А доказываю я другое. Вы дальше сами написали, что именно мне нужно доказать.
Someone в сообщении #890333 писал(а):
Кстати, что значит "получили"? Семейство множеств $\Delta$ нам задано до начала доказательства. И нам надо доказать, что оно является предбазой некоторой топологии.

Вы поняли о чём речь.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 02:03 
Аватара пользователя
main.c писал(а):
Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

Хорошо, для меня некоторая топология - дискретная. Вы хотите сказать, что любое покрытие множества X - это всегда предбаза базы дискретной топологии?

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 11:47 
demolishka в сообщении #890339 писал(а):
main.c писал(а):
Предбаза, которую мы получили является предбазой именно в той самой "некоторой" топологии.

Хорошо, для меня некоторая топология - дискретная. Вы хотите сказать, что любое покрытие множества X - это всегда предбаза базы дискретной топологии?

Всё, понял, спасибо! В общем случае это предбаза другой топологии.

-- 26.07.2014, 12:26 --

Осталось разобраться ещё с несколькими вопросами.
Цитата:
6. Докажите, что всевозможные бесконечные арифметические прогрессии, состоящие из натуральных чисел, образуют базу некоторой топологии в N.
7. С помощью этой топологии докажите, что множество простых чисел бесконечно.
Воспользуйтесь тем, что в противном случае множество {1} было бы открытым (?!).

Ну 6 - доказывается очень просто. Пусть $B$ - множество всевозможных бесконечных арифметических прогрессий. Пусть $\Omega$ - множество всех возможных объединений элементов из $B$.
1. Это множество покрывает $N$
2. Пересечение 2 элементов из $B$ очевидно может быть представлено, как объединение элементов из $B$.
Так что множество $B$ всевозможных бесконечных арифметических прогрессий является базой в $N$.
А вот с 7 мне не понятно. Причём тут простые числа?

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 13:33 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #890390 писал(а):
Всё, понял, спасибо! В общем случае это предбаза другой топологии.
К тому же, для доказательства это (открытость элементов семейства $\Delta$) совсем не нужно, а ненужные предположения, отсутствующие в условии, очень плохо смотрятся. Поэтому я к Вам и прицепился.

main.c в сообщении #890390 писал(а):
Пересечение 2 элементов из $B$ очевидно может быть представлено, как объединение элементов из $B$.
Неплохо было бы ваши рассуждения увидеть. На самом деле это пересечение является элементом $B$. Хотя это не требуется, а ваше утверждение практически очевидно.

main.c в сообщении #890390 писал(а):
А вот с 7 мне не понятно. Причём тут простые числа?
Арифметическая прогрессия, первый член и разность которой равны простому числу $p$, содержит все натуральные числа, делящиеся на $p$. Каждое натуральное число, большее единицы, делится на какое-нибудь простое число.
Некоторые (микроскопические) различия в рассуждениях возникают в связи с тем, что иногда ноль считают натуральным числом, а иногда не считают.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 13:55 
Someone в сообщении #890413 писал(а):
На самом деле это пересечение является элементом $B$.

Ну не совсем так, ведь если мы возьмём непересекающиеся арифметические прогрессии, то их пересечение будет пустым множеством, а в $B$ нет пустого множества. А в остальных случаях да, согласен - является элементом из $B$.
Someone в сообщении #890413 писал(а):
Арифметическая прогрессия, первый член и разность которой равны простому числу $p$, содержит все натуральные числа, делящиеся на $p$. Каждое натуральное число, большее единицы, делится на какое-нибудь простое число.
Некоторые (микроскопические) различия в рассуждениях возникают в связи с тем, что иногда ноль считают натуральным числом, а иногда не считают.

Мне интересно вот это указание.
Цитата:
Воспользуйтесь тем, что в противном случае множество {1} было бы открытым (?!).

Не совсем понимаю, как из конечности простых чисел пришли к тому, что {1} - открыто.

 
 
 
 Re: База топологии.
Сообщение26.07.2014, 15:58 
Аватара пользователя
main.c в сообщении #890416 писал(а):
Ну не совсем так, ведь если мы возьмём непересекающиеся арифметические прогрессии, то их пересечение будет пустым множеством, а в $B$ нет пустого множества.
Уточнение принимается.

main.c в сообщении #890416 писал(а):
Не совсем понимаю, как из конечности простых чисел пришли к тому, что {1} - открыто.
Попробуйте доказать, что арифметическая прогрессия является замкнутым множеством.

 
 
 [ Сообщений: 44 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group