Сохранение энергии/импульса

[StaticZero]

Цитата:

На неподвижную частицу массой $m_1$ налетает частица массой $m_2$. После соударения одна из частиц отлетела под прямым углом, а другая - под углом $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$ к первоначальному направлению движения налетевшей частицы. Найти отношение $\kappa = \dfrac{m_2}{m_1}$, если при столкновении потеряна $\eta = \dfrac{1}{5}$ часть энергии.

Закон сохранения импульса здесь работает. Пусть изначально частица двигалась вдоль оси $Oy$.
$v$ - изначальная скорость, $u$ - скорость налетевшей частицы после удара, $w$ - скорость бывшей неподвижной частицы после удара.
Тогда получим:
$Oy: m_2v = m_1w\cos{\alpha}$
$Ox: m_2u = m_1w\sin{\alpha}$

Воспользуемся законом изменения энергии:
$\dfrac{m_2v^2}{2} = \dfrac{m_2u^2}{2} + \dfrac{m_1w^2}{2} + Q$
$1 = \dfrac{u^2}{v^2} + \dfrac{m_1}{m_2}\dfrac{w^2}{v^2} + \eta$
$\left((1-\eta) - \dfrac{u^2}{v^2}\right) \dfrac{v^2}{w^2} = \dfrac{1}{\kappa}$
$(1-\eta)\dfrac{v^2}{w^2} - \dfrac{u^2}{w^2} = \dfrac{1}{\kappa}$

$\dfrac{v}{w} = \dfrac{m_1}{m_2} \cos{\alpha}$

$\dfrac{u}{w} = \dfrac{m_1}{m_2} \sin{\alpha}$

$\dfrac{1}{\kappa^2}(\cos^2{\alpha} - \sin^2{\alpha}) - \eta\dfrac{1}{\kappa^2}\cos^2{\alpha} = \dfrac{1}{\kappa}$

$\cos{2\alpha} - \eta\cos^2{\alpha} = \kappa$

$\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{5}\dfrac{3}{4} = \kappa$

$\kappa = \dfrac{7}{20}$

Правильный ответ - $0, 36$. Где может быть ошибка?
Спасибо за внимание.

[Munin]

Это вы считаете, что налетевшая отлетела под прямым углом. А если та, что была неподвижной?

[StaticZero]

Два ответа в задаче? Или эту неопределенность легко устранить?

[Munin]

Скорей всего, составители не подумали о неоднозначности (раз уж вы приводите условие буквально). А какой вариант они подразумевали - надо угадать.

[StaticZero]

В другом случае получается $\kappa = -1, 6$.

[Munin]

Тогда ошибка в последнем десятичном знаке. Возможно, составители задачи считали ответ не в натуральных дробях, а в десятичных, и считая с точностью до одной сотой, ошиблись на одну сотую.

[Tun]

Munin в сообщении #890889 писал(а):

Тогда ошибка в последнем десятичном знаке. Возможно, составители задачи считали ответ не в натуральных дробях, а в десятичных, и считая с точностью до одной сотой, ошиблись на одну сотую.

Скорее опечатка, тут разве что на корне из 3 можно округлить. Верный ответ 0,35

[StaticZero]

Спасибо большое.
Еще одна задача:

Цитата:

Кубик массой $m$ соскальзывает без начальной скорости с вершины гладкой горки высотой $H$. горка может без трения перемещаться по горизонтальной поверхности. Масса горки $M$. В конце спуска кубик ударяется о пружину с коэффициентом жесткости $k$ и сжимает её.
Определить:
а) скорости горки и кубика относительно горки в момент удара кубика о пружину;
б) ускорение горки в момент наибольшего сжатия пружины.

Решение:
а) Внутренние силы импульс системы не меняют. Поэтому изначально покоящаяся система кубик-горка будет иметь суммарный импульс относительно стола, равный $0$.
Получим
$m(v-u) = (M+m)u$
$v$ - скорость кубика относительно горки, $u$ - скорость горки относительно стола.

Так как в системе отсутствует трение, то энергия сохраняется. Получаем
$mgH = \dfrac{m(v-u)^2}{2} + \dfrac{(M+m)u^2}{2}$


б) Энергия кубика переходит в энергию пружины.
$\dfrac{mv^2}{2} = \dfrac{kx^2}{2}$
$x$ - величина максимального сжатия.
Отсюда
$Ma = kx$
$a = \dfrac{k}{M}\cdot x$

Правильно ли составлены уравнения?

Два уравнения, два неизвестных.

[DimaM]

StaticZero
1. По-моему, скорость горки $u$ надо умножать на $M$, а не на $M+m$.
2. Сжатие пружины проще найти из сохранения энергии для начального и конечного момента (вначале потенциальная энергия кубика в поле тяжести, в конце потенциальная энергия сжатой пружины).
Сейчас у вас записано неправильно.

[StaticZero]

DimaM в сообщении #890957 писал(а):

По-моему, скорость горки $u$ надо умножать на $M$, а не на $M+m$.

Но ведь горка же с кубиком?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #890961 писал(а):

Но ведь горка же с кубиком?

С кубиком она стоит. А когда начинает ехать, едет отдельно (кубик со скоростью $v-u$, горка со скоростью $u$).

[StaticZero]

То есть система уравнений выглядит так:
$m(v-u) = Mu$

$mgh = \dfrac{m(v-u)^2}{2} + \dfrac{Mu^2}{2}$

или нет?

[DimaM]

StaticZero в сообщении #890980 писал(а):

То есть система уравнений выглядит так:

Да.
Есть еще хорошая штука - приведенная масса $\mu=Mm/(M+m)$, с ней уравнение совсем простое

$$ \frac{\mu v^2}{2}=mgh. $$

[StaticZero]

А можно немножко объяснить, кто такая "приведённая масса"? Я здесь вижу справа полную мех. энергию системы изначально, слева - кинетическую энергию некоего объекта массы $\mu$, движущегося со скоростью $v$. Но мне это ни о чем не говорит.

[DimaM]

StaticZero в сообщении #890994 писал(а):

А можно немножко объяснить, кто такая "приведённая масса"?

Полную кинетическую энергию системы тел удобно разделить на две части: связанную с движением центра масс $MV^2/2=P^2/2M$ ($M$ - суммарная масса, ${\bf P}$ - суммарный импульс, ${\bf V}={\bf P}/M$ - скорость центра масс) - она за счет внутренних сил измениться не может, и остаток, который для двух тел может быть записан в виде $\mu v^2/2$, где ${\bf v}={\bf v}_1-{\bf v}_2$ - скорость одного тела относительно другого.
Отсылаю к лекциям, где это написано подробнее (приведенная масса возникает на стр. 8/52).