диск плоскость

[Munin]

Red_Herring в сообщении #890220 писал(а):

При сухом трении скорее всего стационарный режим достигается при $t\ge t_0$,

В смысле, при $t<\infty.$ Логично.

[drobyshev]

Red_Herring в сообщении #890220 писал(а):

При сухом трении скорее всего стационарный режим достигается при $t\ge t_0$, где $t_0$ зависит от начальных условий

Время $t_0$ может быть рассчитано по формуле

$$t_0=\dfrac{\dfrac{J}{2}+\tg^2\alpha}{kJ\omega_0\sin\alpha}\ln\left(1+\dfrac{J^2\omega_0^2R\cos^2\alpha}{g\sin\alpha[J(1-\dfrac{1}{2}\cos^2\alpha)+\sin^2\alpha]}\right).$$

Пусть, например, коэффициент трения $k=0{,}25$ и $J\equiv I_z/(mR^2)=1/2$ (диск однородный). Зависимость $t_0$ от угла наклона $\alpha$ представляется графиками:

Здесь $t_0$ откладывается по вертикальной оси в единицах $\sqrt{R/g}$. Черная линия - $\omega_0=\sqrt{g/R}$, синяя - $\omega_0=10\sqrt{g/R}$, зеленая - $\omega_0=40\sqrt{g/R}$ и красная - $\omega_0=100\sqrt{g/R}$.

[Oleg Zubelevich]

нормальная реакция плоскости в точке $A$:

$$N=\frac{\cos^2\alpha}{a}\Big(\dot\gamma^2(U-V)\sin\alpha-V\dot\gamma\dot\phi+amg\Big),\quad a=|OS|,$$

$m$ -- масса диска
Условие того, что диск не отрывается от плоскости: $N>0$

[Oleg Zubelevich]

Теорема. Если в начальный момент времени выполнено выполнено условие безотрывности $N>0$ то диск не оторвется от плоскости во все время движения. Это верно для любой силы трения, которая не равна нулю при проскальзывании.

[Oleg Zubelevich]

Доказательство.
С учетом константы первого интеграла имеем:

$$c=\sin\alpha (V-U)\dot\gamma+V\dot\phi,\quad N=\frac{\cos^2\alpha}{a}\Big(amg-c\dot\gamma\Big).$$

Уравнение движения:

$$U\cos\alpha\ddot\gamma=-aF.$$

Условие диссипативнсти силы $(\overline\omega,\overline M_O)\le 0$ эквивалентно следующему неравенству: $F(\dot\gamma+\dot\phi\sin\alpha)\ge 0$.

В случае непроскальзывания $\overline v_A=0\quad(\Longleftrightarrow \dot\gamma+\dot\phi\sin\alpha=0)$ легко проверить, что $c\dot\gamma\le 0$ поэтому отрыва не происходит. Достаточно выразить $\dot\gamma$ из уравнений $\overline v_A=0$ и первого интеграла.

Рассмотрим случай когда проскальзывание есть $\dot\gamma+\dot\phi\sin\alpha\ne 0$



Предположим противное: происходит отрыв. Это значит, что на некотором промежутке времени функция $c\dot\gamma$ возрастает и $c\dot\gamma>0$.

1 случай: $c>0,\quad \dot\gamma>0,$ функция $\dot\gamma$ --возрастает. Из последнего следует, что $\ddot\gamma>0$ значит, в силу уравнения движения, $F<0$. В силу условия дисипативности $\dot\gamma+\dot\phi\sin\alpha<0$. Последнее неравенство несовместимо с неравенством $c>0$.
Действительно,

$$\dot\phi<-\frac{\dot\gamma}{\sin\alpha},\quad \dot\phi>-\frac{\dot\gamma(V-U)\sin\alpha}{V}$$

откуда
$$(V-U)\sin^2\alpha>V$ , что невозможно. Противоречие.

2 случай: $c<0,\quad \dot\gamma<0,$ функция $\dot\gamma$ --убывает. -- разбирается аналогично

[Munin]

А что такое у вас $U$ и $V$? Давно уже фигурируют, и никак не введены.

[Oleg Zubelevich]

вообще-то введены

Oleg Zubelevich в сообщении #889844 писал(а):

$$J_O=diag(U,V,U).$$

$U$ -- моменты инерции диска относительно осей Ox и Oz, они одинаковы; $V$ это момент инерции относительно оси Oy

[Утундрий]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #890706 писал(а):

-- моменты инерции диска относительно осей Ox и Oz, они одинаковы; $V$ это момент инерции относительно оси Oy

И вот Ульмо заставил Туора уйти с партизанской тропы, добраться до моря и навеки полюбить эти синие просторы, в надежде, что Туор в благодарность за экскурсию, не мешкая, примется за дело. Но молодой человек поначалу ожиданий не оправдал. Он поселился на побережье и предался лени и безделью, так что пришлось послать семерых огромных лебедей, летящих с юга. Увидев их, Туор сразу понял это как знак, дескать, он долго медлил, что делает честь его понятливости, кто другой бы мог и не догадаться.

[Munin]

(Оффтоп)

Утундрий
:thumb up:

[Oleg Zubelevich]

[Munin]

Да нет, цитата была по делу :-) Спасибо, что ответили на вопрос, но всё-таки ввели эти обозначения вы очень завуалированно :-)

[drobyshev]

Oleg Zubelevich в сообщении #889916 писал(а):

у меня получился такой первый интеграл:

$$\sin\alpha (V-U)\dot\gamma+V\dot\phi=const$$

наверное, это тоже, что у Вас.

Нет, не то же самое.

Oleg Zubelevich в сообщении #890682 писал(а):

Доказательство.
С учетом константы первого интеграла имеем:

$$c=\sin\alpha (V-U)\dot\gamma+V\dot\phi,\quad N=\frac{\cos^2\alpha}{a}\Big(amg-c\dot\gamma\Big).$$

При выводе интеграла движения Вы учли спиновый момент импульса диска, но, по всей видимости, не учли орбитальный момент, связанный с движением центра масс вокруг шарнира. Поэтому в коэффициент перед $\dot{\gamma}$ должно еще входить дополнительное слагаемое, содержащее $mR^2$.

В своем решении я уверен практически полностью, поскольку оно согласуется с частным случаем горизонтально направленной оси диска. А этот случай легко рассматривается отдельно при решении следующей задачи: требуется найти зависимость от времени угловой скорости диска, поставленного перпендикулярно к плоскости, если его начальная угловая скорость $\omega_0$.

[Oleg Zubelevich]

drobyshev в сообщении #890808 писал(а):

При выводе интеграла движения Вы учли спиновый момент импульса диска, но, по всей видимости, не учли орбитальный момент, связан

я в таких терминах не работаю, я просто выписываю уравнения движения и как-то их преобразую


вот мои вычисления: http://www.fayloobmennik.net/3982192 картинку и остальные формулы см. выше по ветке

[drobyshev]

Oleg Zubelevich в сообщении #890826 писал(а):

я в таких терминах не работаю, я просто выписываю уравнения движения и как-то их преобразую


вот мои вычисления: http://www.fayloobmennik.net/3982192 картинку и остальные формулы см. выше по ветке

Хорошо, тогда и я выскажу свои претензии в других терминах.

Раз Вы рассчитываете моменты сил относительно шарнира, то где тогда перерасчет моментов инерции согласно теореме Штейнера? В представленном Вами файле я этого не увидел.

Не хотите использовать эту теорему? Это позволительно, но тогда будьте добры записывать моменты сил относительно центра масс диска.

[Oleg Zubelevich]

drobyshev в сообщении #890834 писал(а):

Раз Вы рассчитываете моменты сил относительно шарнира, то где тогда перерасчет моментов инерции согласно теореме Штейнера? В представленном Вами файле я этого не увидел.

а зачем? теорема об изменении кинетического момента записана относительно точки $O$, оператор инерции тоже , естественно ,записан относительно точки $O$.

Oleg Zubelevich в сообщении #890706 писал(а):

$U$ -- моменты инерции диска относительно осей Ox и Oz, они одинаковы; $V$ это момент инерции относительно оси Oy