диск плоскость

[Oleg Zubelevich]

задача с другого форума

Цитата:

Тонкий однородный диск, вращающийся вокруг оси (перпендикулярной плоскости диска, проходящей через его центр) ставят на плоскость так, что угол между ней и плоскостью диска $\alpha$ мал. Диск имеет тонкую жёсткую ось, незначительно (в соответствии с $\alpha$), выступающую из него. Эта ось при постановке диска на плоскость упирается в плоскость и далее не сдвигается (считаем, что там идеальный шарнир), так что диск касается плоскости этой осью и своим краем. Трения в оси нет, а коэффициент трения края диска о плоскость $k$.
Найдите зависимость угловой скорости диска от времени.

правильнее так: исследовать движения диска при которых его край не отрывается от плоскости

[drobyshev]

Пусть радиус диска $R$, масса $m$, осевой момент инерции $J_z=J$ (в единицах $mR^2$). Предполагаем, что диск - симметрический волчок, так что два других момента инерции равны $J_x=J_y=J/2$ (для однородного диска $J_x=J_y=1/4$, $J_z=1/2$). Начальная угловая скорость $\omega_0$.

Угловая скорость вращения вокруг оси изменяется с течением времени экспоненциально

$$\omega(t)=\omega_0+\tilde{\omega}(e^{a\omega_0 t}-1),$$

где

$$\tilde{\omega}=\frac{g\sin\alpha}{J^2\omega_0 R}(J/2-\tg^2\alpha), \qquad a=\frac{J k\sin\alpha}{J/2+\tg^2\alpha}$$

(выражения справедливы для любых углов наклона $\alpha$!). При $\tg^2\alpha<J/2$ угловая скорость нарастает, а при $\tg^2\alpha>J/2$ - убывает, но при этом угловая скорость прецессии оси вокруг вертикали всегда отрицательна:

$$\Omega(t)=-\frac{J\cos\alpha}{(J/2)\cos^2\alpha-\sin^2\alpha}(\omega(t)-\omega_0).$$

Возрастание или убывание угловой скорости происходит до тех пор, пока она не сравняется с предельным значением

$$\omega_\text{пр}=\dfrac{J\omega_0}{J(1-\dfrac{1}{2}\cos^2\alpha)+\sin^2\alpha},$$

(когда исчезает проскальзывание между краем диска и плоскостью), и далее она остается постоянной и равной $\omega_\text{пр}$ - диск катится по плоскости без проскальзывания.

При $\alpha\to\pi/2$ получаем $\omega(t)=\omega_0-kgt/(JR)$, $\omega_\text{пр}=\omega_0J/(J+1)$, что легко проверяется при рассмотрении отдельной задачи о диске, который ставится перпендикулярно к плоскости.

[Oleg Zubelevich]

я не писал формулы в этой задаче, но насколько понимаю, основной эффект состоит в том, что сила реакции плоскости, а значит и сила трения должны зависеть от угловой скорости диска, ведь он вообще может оторваться. Так ведь?

[drobyshev]

Oleg Zubelevich в сообщении #889670 писал(а):

я не писал формулы в этой задаче, но насколько понимаю, основной эффект состоит в том, что сила реакции плоскости, а значит и сила трения должны зависеть от угловой скорости диска, ведь он вообще может оторваться. Так ведь?

Сила реакции плоскости конечно же зависит от текущего значения угловой скорости вращения. Но диск от плоскости не отрывается. По крайней мере, при тех начальных условиях, которые я использовал - угловая скорость $\omega(0)=\omega_0$, скорость прецессии оси вокруг вертикали $\Omega(0)=0$.

[Oleg Zubelevich]

$O$ -- шарнир; $S$ -- центр диска; $Oxyz$ -- подвижная декартова система координат; $Ox$ -- лежит в горизонтальной плоскости; $Oy$ -- проходит через точку $O$ и центр диска; $\alpha$ -- угол наклона оси $z$ к вертикали (постоянный); $\gamma$ -- угол поворота оси $x$ от некоторой фиксированной прямой плоскости; $\phi$ -- угол собственного поворота диска. $A$ -- точка на диске, которой он касается плоскости.

Поехали...

Угловая скорость:

$$\overline e=\sin\alpha \overline e_y+\cos\alpha\overline e_z,\quad \overline\omega_e=\dot\gamma\overline e,\quad \overline \omega_r=\dot\phi\overline e_y,\quad \overline\omega= \overline\omega_e+\overline \omega_r$$

Угловое ускорение:

$$\overline \epsilon=\overline \epsilon_r+\overline \epsilon_e+[\overline\omega_e,\overline\omega_r],\quad \overline \epsilon_r=\ddot\phi\overline e_y,\quad \overline \epsilon_e=\ddot\gamma\overline e.$$

$\overline N=N\overline e$ -- нормальная сила реакции в точке $A$; $\overline F=F\overline e_x$ -- сила трения;

Теорема об изменении кинетического момента:

$$J_O\overline\epsilon+[\overline\omega, J_O\overline \omega]=[\overline{OS},m\overline g]+[\overline{OA},\overline F+\overline N],\quad J_O=diag(U,V,U).$$

Какие-тонелинейные уравнения, удивительно, что они так легко проинтегрировались...

[drobyshev]

Oleg Zubelevich в сообщении #889844 писал(а):

Теорема об изменении кинетического момента

Я решал задачу, используя уравнение $d\vec{L}/dt=\vec{M}$, при этом полный момент импульса $\vec{L}$ записывал как сумму собственного момента $\vec{S}$ и момента импульса $\vec{l}$ из-за движения центра масс диска относительно шарнира $O$. Моменты сил находил, естественно, тоже относительно $O$. Момент импульса $\vec{S}$ проще всего вычисляется в главных осях инерции, но далее все соотношения я записывал через базисные векторы системы координат, связанной с плоскостью (ось $z$ перпендикулярна плоскости, ось $y$ лежит в плоскости и проходит через точку касания диска с плоскостью, ось $x$ тоже лежит в плоскости). Наконец, учитывал то, что

$$\frac{d\vec{L}}{dt}=\dot{\vec{L}}+[\vec{\Omega}\vec{L}],$$

где $\vec{\Omega}=\Omega\vec{e}_z$ - угловая скорость прецессии ($\Omega=\dot{\gamma}$ согласно Вашему рисунку). Нахождение же $\dot{\vec{L}}$ сводится к простой расстановке точек над $\omega$ и $\Omega$ ($\omega=\dot{\phi}$).

Oleg Zubelevich в сообщении #889844 писал(а):

Какие-то нелинейные уравнения, удивительно, что они так легко проинтегрировались...

Получаются три уравнения в проекциях на $x$, $y$, $z$, причем уравнение в проекции на $y$ имеет вид $J\dot{\omega}+c\dot{\Omega}=0$, что сразу дает интеграл движения $J\omega+c\Omega$, равный $J\omega_0$ при начальных условиях $\omega(0)=\omega_0$, $\Omega(0)=0$ ($J$ - осевой момент инерции, $c$ - постоянный коэффициент). Уравнение в проекции на $x$ - алгебраическое и позволяет найти реакцию $N$ через $\omega$ и $\Omega$. Наконец, третье уравнение после исключения из него $\Omega$, $\dot{\Omega}$ и $N$ приводится к виду

$$\dot{\omega}=a\omega+b,$$

где $a$ и $b$ - постоянные коэффициенты.

[Oleg Zubelevich]

у меня получился такой первый интеграл:

$$\sin\alpha (V-U)\dot\gamma+V\dot\phi=const$$

наверное, это тоже, что у Вас. Причем этот интеграл имеет место для обоих режимов качение\проскальзывание. Небольшой, но сюрприз.

[Oleg Zubelevich]

Oleg Zubelevich в сообщении #889916 писал(а):

Причем этот интеграл имеет место для обоих режимов качение\проскальзывание.

независимо от природы силы трения лишь бы она была направлена вдоль оси $Ox$

[drobyshev]

Oleg Zubelevich в сообщении #889937 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #889916 писал(а):

Причем этот интеграл имеет место для обоих режимов качение\проскальзывание.

независимо от природы силы трения лишь бы она была направлена вдоль оси $Ox$

Этот интеграл движения возникает по всей видимости из-за того, что отсутствуют приложенные к диску внешние силы, имеющие составляющие момента вдоль $Oy$ (моменты силы тяжести и силы реакции опоры направлены вдоль $Ox$, а момент силы трения - вдоль $Oz$).

[Oleg Zubelevich]

Любопытно вот что. Можно так подобрать длину $OS$, что окажется $U=V$ и тогда собственная угловая скорость диска ($\dot\phi$) будет оставаться постоянной не смотря на трение. У меня это как-то не очень в голове укладывается, но ошибок в формулах не нахожу.

[drobyshev]

Oleg Zubelevich в сообщении #890094 писал(а):

Любопытно вот что. Можно так подобрать длину $OS$, что окажется $U=V$ и тогда собственная угловая скорость диска ($\dot\phi$) будет оставаться постоянной не смотря на трение.

Я это фактически уже отмечал:

Цитата:

drobyshev в сообщении #889666 писал(а):

При $\tg^2\alpha<J/2$ угловая скорость нарастает, а при $\tg^2\alpha>J/2$ - убывает

Т.е. при $\tg^2\alpha=J/2$ она остается постоянной (для однородного диска $J=1/2$, и тогда $\alpha=26{,}6^\mathrm{o}$).

Oleg Zubelevich в сообщении #890094 писал(а):

У меня это как-то не очень в голове укладывается, но ошибок в формулах не нахожу.

Увеличивается по модулю угловая скорость $\vec{\Omega}$, направленная вдоль $-\vec{e}_z$. Кинетическая энергия диска при этом уменьшается.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #890094 писал(а):

...и тогда собственная угловая скорость диска ($\dot\phi$) будет оставаться постоянной не смотря на трение. У меня это как-то не очень в голове укладывается, но ошибок в формулах не нахожу.

Думаю, интуитивно фокус в том, что "собственная угловая скорость" - вычисляется в движущейся системе координат, и поэтому вообще никто не обещал, что она связана с физической энергией. Потеря энергии на трение, в таком случае, будет происходить за счёт изменения движения движущейся системы координат. В том числе, как я предполагаю, выйдет в пределе на режим, когда движение движущейся системы координат будет постоянным (с постоянной энергией), а относительная скорость тел в точке проскальзывания будет равна нулю (и потерь энергии не будет).

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #890094 писал(а):

собственная угловая скорость диска ($\dot\phi$) будет оставаться постоянной не смотря на трение

Ехидное замечание: и на что же должна смотреть угловая скорость диска?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #890112 писал(а):

Думаю, интуитивно фокус в том, что "собственная угловая скорость" - вычисляется в движущейся системе координат, и поэтому вообще никто не обещал, что она связана с физической энергией. Потеря энергии на трение, в таком случае, будет происходить за счёт изменения движения движущейся системы координат.

видимо так, да

drobyshev в сообщении #890109 писал(а):

Я это фактически уже отмечал:

ну я тут уже сам начал писать формулы и в чем-то Вас продублировал, pardon.

Повторю вывод, который у Вас, видимо, тоже есть. Качественная картина движения (при очень широком классе сил трения ) следующая: Движение стремится при $t\to\infty$ к стационарному режиму, который соотвествует движению без проскальзывания. Предельная угловая скорость находится из первого интеграла и условий непроскальзывания.

[Red_Herring]

Oleg Zubelevich в сообщении #890216 писал(а):

Качественная картина движения (при очень широком классе сил трения ) следующая: Движение стремится при $t\to\infty$ к стационарному режиму,

При сухом трении скорее всего стационарный режим достигается при $t\ge t_0$, где $t_0$ зависит от начальных условий