2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Бесконечность простых вида 6m+1[Теория чисел]
Сообщение26.07.2014, 11:29 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
Здравствуйте, дорогие друзья!

Доказать, что простых чисел вида $6m+1$ бесконечного много.

Мой эскиз доказательства: Пусть простых чисел вида $6m+1$ конечное число и обозначим их через $q_1, q_2, \dots, q_n$ и пусть $A=\{q_1, q_2, \dots, q_n\}$.
Рассмотрим такое число $M=q_1^2\dots q_n^2(q_1+1)^2\dots (q_n+1)^2+3$. Нетрудно проверить, что число $M$ имеет вид $6m+1$ так как $M\equiv 1 \pmod 2$ и
$M\equiv 1 \pmod 3$. Кроме того, число $M$ не делится ни на одно из чисел $\{q_j\}_{j=1}^n$.
Первый случай: Если $M$ - простое число, тогда все хорошо.
Второй случай: Если $M$ - составное число, тогда он делится на некоторое простое число $p$. Отсюда вытекает, что $p$ имеет вид $6m+1$ и $p\notin A$. В
обоих случаях получаем противоречие.
Во втором случае использовалось следующее утверждение: Сравнение $x^2+3\equiv 0 \pmod p$ разрешимо тогда и только тогда, когда $p$ имеет вид $6m+1$.

Скажите пожалуйста это доказательство правильное?

С уважением, Whitaker.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых вида 6m+1[Теория чисел]
Сообщение26.07.2014, 12:08 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Верно. Можно слегка усилить утверждение и доказать тем же методом, что простых чисел вида $12n+7$ бесконечно много.

Вот ещё для тренировки список прогрессий, где метод Евклида работает: $8n+3$, $8n+5$, $8n+7$, $10n+9$, $12n+5$, $12n+7$, $12n+11$. Можно также попробовать разобраться с прогрессией $mn+1$, где $m>1$ произвольно, но здесь понадобятся круговые многочлены.

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых вида 6m+1[Теория чисел]
Сообщение26.07.2014, 12:23 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
nnosipov в сообщении #890395 писал(а):
Верно. Можно слегка усилить утверждение и доказать тем же методом, что простых чисел вида $12n+7$ бесконечно много.

Вот ещё для тренировки список прогрессий, где метод Евклида работает: $8n+3$, $8n+5$, $8n+7$, $10n+9$, $12n+5$, $12n+7$, $12n+11$. Можно также попробовать разобраться с прогрессией $mn+1$, где $m>1$ произвольно, но здесь понадобятся круговые многочлены.
Спасибо большое!
1) А вот для вышеперечисленных там наверное тоже нужны какие-нибудь утверждения, связанные с квадратичными вычетами?
2) Интересно, а где можно прочитать про прогрессии вида $mn+1$, где $m>1$? Было бы полезно почитать. Можете дать ссылку, если у Вас есть конечно?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых вида 6m+1[Теория чисел]
Сообщение26.07.2014, 13:02 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
1) Да, нужно знать, когда $2$, $5$ и $\pm 3$ будут вычетами/невычетами.
2) Есть, например, у Хассе в его "Лекциях по теории чисел". Могу предложить и свой пересказ в виде pdf-файла (когда-то сочинил для своих студентов-школьников).

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых вида 6m+1[Теория чисел]
Сообщение26.07.2014, 13:31 
Аватара пользователя


12/01/11
1320
Москва
nnosipov в сообщении #890410 писал(а):
1) Да, нужно знать, когда $2$, $5$ и $\pm 3$ будут вычетами/невычетами.
2) Есть, например, у Хассе в его "Лекциях по теории чисел". Могу предложить и свой пересказ в виде pdf-файла (когда-то сочинил для своих студентов-школьников).
Да было бы отлично! Отправьте пожалуйста.

-- Сб июл 26, 2014 14:01:32 --

nnosipov
Хочу такой вопрос спросить. Я вот могу доказать при каких $p$ числа $\pm{1}, \pm{2}, -3$ будет квадратичным вычетов. Для чисел $\pm{5}, +3$ аналогичное рассуждение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Бесконечность простых вида 6m+1[Теория чисел]
Сообщение26.07.2014, 14:09 
Заслуженный участник


20/12/10
8858
Whitaker в сообщении #890411 писал(а):
Хочу такой вопрос спросить. Я вот могу доказать при каких $p$ числа $\pm{1}, \pm{2}, -3$ будет квадратичным вычетов. Для чисел $\pm{5}, +3$ аналогичное рассуждение?
Вообще говоря, используется квадратичный закон взаимности.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group