Бесконечность простых вида 6m+1[Теория чисел]

[Whitaker]

Здравствуйте, дорогие друзья!

Доказать, что простых чисел вида $6m+1$ бесконечного много.

Мой эскиз доказательства: Пусть простых чисел вида $6m+1$ конечное число и обозначим их через $q_1, q_2, \dots, q_n$ и пусть $A=\{q_1, q_2, \dots, q_n\}$.
Рассмотрим такое число $M=q_1^2\dots q_n^2(q_1+1)^2\dots (q_n+1)^2+3$. Нетрудно проверить, что число $M$ имеет вид $6m+1$ так как $M\equiv 1 \pmod 2$ и
$M\equiv 1 \pmod 3$. Кроме того, число $M$ не делится ни на одно из чисел $\{q_j\}_{j=1}^n$.
Первый случай: Если $M$ - простое число, тогда все хорошо.
Второй случай: Если $M$ - составное число, тогда он делится на некоторое простое число $p$. Отсюда вытекает, что $p$ имеет вид $6m+1$ и $p\notin A$. В
обоих случаях получаем противоречие.
Во втором случае использовалось следующее утверждение: Сравнение $x^2+3\equiv 0 \pmod p$ разрешимо тогда и только тогда, когда $p$ имеет вид $6m+1$.

Скажите пожалуйста это доказательство правильное?

С уважением, Whitaker.

[nnosipov]

Верно. Можно слегка усилить утверждение и доказать тем же методом, что простых чисел вида $12n+7$ бесконечно много.

Вот ещё для тренировки список прогрессий, где метод Евклида работает: $8n+3$, $8n+5$, $8n+7$, $10n+9$, $12n+5$, $12n+7$, $12n+11$. Можно также попробовать разобраться с прогрессией $mn+1$, где $m>1$ произвольно, но здесь понадобятся круговые многочлены.

[Whitaker]

nnosipov в сообщении #890395 писал(а):

Верно. Можно слегка усилить утверждение и доказать тем же методом, что простых чисел вида $12n+7$ бесконечно много.

Вот ещё для тренировки список прогрессий, где метод Евклида работает: $8n+3$, $8n+5$, $8n+7$, $10n+9$, $12n+5$, $12n+7$, $12n+11$. Можно также попробовать разобраться с прогрессией $mn+1$, где $m>1$ произвольно, но здесь понадобятся круговые многочлены.

Спасибо большое!
1) А вот для вышеперечисленных там наверное тоже нужны какие-нибудь утверждения, связанные с квадратичными вычетами?
2) Интересно, а где можно прочитать про прогрессии вида $mn+1$, где $m>1$? Было бы полезно почитать. Можете дать ссылку, если у Вас есть конечно?

[nnosipov]

1) Да, нужно знать, когда $2$, $5$ и $\pm 3$ будут вычетами/невычетами.
2) Есть, например, у Хассе в его "Лекциях по теории чисел". Могу предложить и свой пересказ в виде pdf-файла (когда-то сочинил для своих студентов-школьников).

[Whitaker]

nnosipov в сообщении #890410 писал(а):

1) Да, нужно знать, когда $2$, $5$ и $\pm 3$ будут вычетами/невычетами.
2) Есть, например, у Хассе в его "Лекциях по теории чисел". Могу предложить и свой пересказ в виде pdf-файла (когда-то сочинил для своих студентов-школьников).

Да было бы отлично! Отправьте пожалуйста.

-- Сб июл 26, 2014 14:01:32 --

nnosipov
Хочу такой вопрос спросить. Я вот могу доказать при каких $p$ числа $\pm{1}, \pm{2}, -3$ будет квадратичным вычетов. Для чисел $\pm{5}, +3$ аналогичное рассуждение?

[nnosipov]

Whitaker в сообщении #890411 писал(а):

Хочу такой вопрос спросить. Я вот могу доказать при каких $p$ числа $\pm{1}, \pm{2}, -3$ будет квадратичным вычетов. Для чисел $\pm{5}, +3$ аналогичное рассуждение?

Вообще говоря, используется квадратичный закон взаимности.