Представления групп и алгебр Ли (задача)

[_Er]

Всем доброго времени суток!
Читаю вот книгу Рубакова " Классические калибровочные поля". В 3-й главе про группы и алгебры Ли такая задача:

$$\diamond$$

Задача 29. Как уже отмечалось, алгебры $SU(2)$ и $SO(3)$ изоморфны. Пусть $T$ – фундаментальное представление алгебры $SU(2)$. Ему соответствует некоторое представление алгебры $SO(3)$, обозначим его $\tilde{T}$. Показать, что не существует представления группы $SO(3)$, которое генерировало бы представление $\tilde{T}$ алгебры $SO(3)$ по формуле:

$$T(1+\varepsilon A) = 1+\varepsilon T(A)$$

где $\varepsilon$ – малый параметр. В левой части $T(1+\varepsilon A)$ – это оператор, соответствующий близкому к единице элементу группы $(1+\varepsilon A) \in G$, в правой части $T(A)$ – оператор, соответствующий элементу алгебры $A \in AG$ для представления $T(AG)$.

$$\diamond$$

Собственно никаких дельных идей и нету. Все, что пришло в голову свелось к тому, что предполагая, что такое представление группы $SO(3)$ существует, можно показать, что из соответствия представлений алгебр следует локальный изоморфизм групп $SU(2)$ и $SO(3)$ вблизи единицы. Но это никакого противоречия не дает.
Еще вызывает подозрения то, что представление $T$ здесь полагается фундаментальным, в то время как про $\tilde{T}$ в этом плане ничего не сказано, т.е. это какое-то произвольное представление. Возможно, то, что $T$ фундаментально как-то используется в решении.
Вроде бы каждому элементу из $SO(3)$ соответствует два из $SU(2)$: $U$ и $-U$. Но формуле выше все происходит вблизи единицы, использовать этот факт, т.к. $U$ и $-U$ не могут быть близки к единице одновременно.

Собственно вот такая проблема. Буду рад любым идеям по поводу решения.

[Munin]

По-моему, это задача на прямое вычисление: постройте в явном виде $T$ алгебры $SU(2),$ и разберитесь, что такое $\widetilde{T}.$

[_Er]

Насколько я понимаю, т.к. $T$ – фундаментальное представление, то, фактически, $T(A)=A, \forall A\in su(2)$. Здесь su(2) – множество антиэрмитовых $2\times2$ матриц с нулевым следом: $A^\dag=-A, \operatorname{Tr}A=0$. В явном виде:

$$A=\left( \begin{array}{cc} ia & b+ic \\ -b+ic & -ia \end{array} \right)$$

Из эквивалентности алгебр $su(2)=so(3)$ получаем некоторое обратимое отображение $f: su(2) \to so(3): \forall A \in su(2): f(A)=B \in so(3)$, при котором сохраняются операции алгебры Ли. Далее можно ввести отображение $F: T \to \tilde{T}: \forall A \in su(2): F(T(A))=\tilde{T}(B) \in \tilde{T}(so(3)),$ где $B=f(A)$. Это отображение задает соответствие между $T$ и $\tilde{T}$. Или я чего-то недопонимаю, или все-таки представление $\tilde{T}$ алгебры $so(3)$ именно так и строится и в таком случае ничего конкретного про $\tilde{T}$ сказать нельзя. Из условия задачи следует, что $\tilde{T}$ в принципе произвольно; даже не знаю, как здесь можно использовать явный вид представления $T$.

[Munin]

Как я понял эту задачу, надо буквально трактовать построенное вами представление алгебры $su(2)$ как представление алгебры $so(3).$ То есть, $\widetilde{T}$ будут те же антиэрмитовы бесследовые матрицы $2\times 2.$ Осталось показать, что они не будут касательными ни к какому представлению группы $SO(3).$

[_Er]

Выходит, что я совсем неправильно понял условие.

Ну если так, то тогда вот какая идея. Во-первых представление $\widetilde{T}$ определяется следующим образом: если $f: so(3) \to su(2)$ изоморфизм, $B \in so(3): f(B)=A \in su(2)$, то $\widetilde{T}(B)=T(f(B))=T(A)=A$. Если существует представление группы генерирующее $\widetilde{T}(so(3))$ то для близких к единице матриц $(1+\varepsilon B) \in SO(3)$ верно $\widetilde{T}(1+\varepsilon B) = 1+\varepsilon f(B)$. Дальше мне хотелось бы как-то определить действие $\widetilde{T}$ на всю группу $SO(3)$, а не только на близкие к 1 ее элементы, ну и, понятное дело, получить противоречие. Но проблема в том, что отображение $f$ в принципе может быть каким угодно. Например, в другой задаче я показывал изоморфизм алгебр $su(2)$ и $so(3)$ следующим образом: матрицы $A$ и $B$ из этих алгебр имеют следующий вид:

$$A=\left( \begin{array}{cc} ia_1 & a_2+ia_3 \\ -a_2+ia_3 & -ia_1 \end{array} \right) B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & b_1 & b_2 \\ -b_1 & 0 & b_3 \\ -b_2 & -b_3 & 0 \end{array} \right)$$

– если положить, что $f(B)=A \Rightarrow b_i=-2a_i$, то при таком $f$ все операции алгебр Ли будут сохраняться. Если доопределить теперь $f$ на группу $SO(3)$, например, так: $R=1+Q \in SO(3): f(R)=M=1+B \Rightarrow B \in su(2)$ и $b_1=Q_{12}, b_2=Q_{13}, b_3=Q_{23}$, то при представлении $\widetilde{T}(SO(3)): \widetilde{T}(R)=f(R)$ не сохраняются групповые операции: для произвольных $R_1,R_2 \in SO(3): \widetilde{T}(R_1R_2) \ne \widetilde{T}(R_1) \widetilde{T}(R_2)$ (это проверяется в явном виде при подстановке матриц в $\widetilde{T}$ (фактически в $f$)).
Вот что-то такое хотелось бы получить в общем случае, для произвольного $f$ с произвольным его доопределением на группу $SO(3)$. Пока что-то ничего такого не выходит.

[Munin]

_Er в сообщении #890017 писал(а):

Но проблема в том, что отображение $f$ в принципе может быть каким угодно.

Оно как раз не может быть каким угодно. Оно переводит один базис в другой с сохранением структурных констант.

Но важно не $f,$ а отображение между представлениями. Вот оно может быть тождественным, в отличие от $f,$ которое тождественным быть не может, поскольку оно отображение между разными объектами.

[_Er]

Munin, у меня при написании ответа залагал браузер и пригрозил вылетом, поэтому пришлось отправить недописанный ответ, чтобы не пришлось потом заново набирать. Перечитайте, пожалуйста, на всякий случай, что я там дописал.

[Munin]

Я всё ещё считаю, что правильно ответил на это ваше сообщение.

[_Er]

Munin, я по этому поводу ничего не говорю. Надо будет попробовать что-то сделать с тем, что вы сказали, но это уже завтра. А так я просто попросил перечить, чтобы вы увидели мой ответ полностью.

[_Er]

Munin в сообщении #889952 писал(а):

$\widetilde{T}$ будут те же антиэрмитовы бесследовые матрицы $2\times 2.$ Осталось показать, что они не будут касательными ни к какому представлению группы $SO(3).$

Munin, у меня все идеи по поводу того, как это показать, сводятся к тому, чтобы как-то скомбинировав матрицы в операторе $\widetilde{T}$ получить, что не сохраняются операции алгебры. Но мне ничего не удается, т.к. мне известно как действует представление $\widetilde{T}$ в группе $SO(3)$ только в области вблизи единицы – значит я могу использовать только близкие к единице элементы из $SO(3)$, а с их помощью никакого противоречия из допущения, что представление группы генерирует представление алгебры, получить не удается. Не могли бы вы дать какую-то подсказку, в каком направлении здесь искать решение?
Возможно, где-то здесь надо использовать свойства самих групп и алгебр, о которых идет речь, но как это сделать у меня тоже никаких идей нет.

Еще один момент: все мое знакомство с группами Ли (да и, по большому счету, с группами вообще) ограничивается главой из книги Рубакова. Это я к тому, что если есть какие-то другие известные способы в решении подобных задач, то я вполне могу о них не знать.

[Munin]

_Er в сообщении #890321 писал(а):

Munin, у меня все идеи по поводу того, как это показать, сводятся к тому, чтобы как-то скомбинировав матрицы в операторе $\widetilde{T}$ получить, что не сохраняются операции алгебры.

Это заведомо не получится, потому что алгебры изоморфны.

_Er в сообщении #890321 писал(а):

Но мне ничего не удается, т.к. мне известно как действует представление $\widetilde{T}$ в группе $SO(3)$ только в области вблизи единицы – значит я могу использовать только близкие к единице элементы из $SO(3)$

А для более далёких элементов вы можете "проложить дорожку" от единицы. Это же матрицы, а матрицы вы умеете дифференцировать, интегрировать, решать дифуры.

[_Er]

Munin в сообщении #890378 писал(а):

_Er в сообщении #890321 писал(а):

Munin, у меня все идеи по поводу того, как это показать, сводятся к тому, чтобы как-то скомбинировав матрицы в операторе $\widetilde{T}$ получить, что не сохраняются операции алгебры.

Это заведомо не получится, потому что алгебры изоморфны.

Я хотел сказать "операции группы".

Munin в сообщении #890378 писал(а):

А для более далёких элементов вы можете "проложить дорожку" от единицы. Это же матрицы, а матрицы вы умеете дифференцировать, интегрировать, решать дифуры.

Попробую.

[Munin]

_Er в сообщении #890382 писал(а):

Я хотел сказать "операции группы".

С операциями группы проще. (Кстати, в группе только одна операция.) Например, если в группе выполняется какое-то $ab=cd,$ а в "кандидате в представление" - не выполняется, $ab\ne cd,$ то можно сказать, что операция группы не сохраняется. Или наоборот, в группе $\ne,$ а в "представлении" получится ${=}.$

Можете навскидку сказать, какими результатами операций отличаются группы $SU(2)$ и $SO(3)$?

[_Er]

Munin в сообщении #890387 писал(а):

Можете навскидку сказать, какими результатами операций отличаются группы $SU(2)$ и $SO(3)$?

Munin, навскидку каких-то различий, которые можно использовать, что-то не нахожу. Результат умножения лежит в самой группе, поэтому фактически вопрос сводится к различию между самими группами. Вблизи единицы они изоморфны, т.е. здесь различий вроде бы нет. Возможно, что-то глобальное можно получить, используя изоморфизм $SU(2)/Z_2=SO(3)$. Но даже если так, определенное выше $\tilde{T}$ дает возможность сравнивать между собой только близкие к единице элементы соответствующих групп. А, как я уже сказал, вблизи единицы различий быть не должно.

Еще. Вы предлагаете проложить дорожку от единицы – но для того, чтобы это сделать нужно знать производные в каждой точке дорожки, а не только в самом ее начале (в единице). Как мне кажется, такой возможности здесь нет.

[Munin]

Понятно. То есть, вы ещё так близко не познакомились с этими группами, как я. Собственно, эти задачи как раз для того и предназначены, чтобы познакомиться.

Давайте познакомимся с этими группами. Вот вы пишете:

_Er в сообщении #890017 писал(а):

матрицы $A$ и $B$ из этих алгебр ($su(2)$ и $so(3)$) имеют следующий вид:


$$A=\left( \begin{array}{cc} ia_1 & a_2+ia_3 \\ -a_2+ia_3 & -ia_1 \end{array} \right) B=\left( \begin{array}{ccc} 0 & b_1 & b_2 \\ -b_1 & 0 & b_3 \\ -b_2 & -b_3 & 0 \end{array} \right)$$


– если положить, что $f(B)=A \Rightarrow b_i=-2a_i$, то при таком $f$ все операции алгебр Ли будут сохраняться.

Замечательно. Давайте построим все элементы групп $SU(2),SO(3),$ порождаемые базисными элементами алгебр, то есть $(a_1,a_2,a_3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),$ и соответственно, $(b_1,b_2,b_3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).$ Для этого запишем кривую в группе $g(t)$ вблизи не единицы, а какой-то её произвольной точки:

$$g(t+dt)=(1+A\,dt+O(dt^2))\cdot g(t),$$

считая, что $A\not\sim t$ (тогда нам не важно, умножаем мы справа или слева). Получаем дифференциальное уравнение (операция сложения понимается в матричном смысле):

$$\begin{gathered}g(t+dt)=g(t)+dt\,A\cdot g(t)+O(dt^2)\cdot g(t)\\g(t+dt)-g(t)=dt\,A\cdot g(t)+O(dt^2)\cdot g(t)\\g'(t)=A\cdot g(t)\\\end{gathered}$$

- и теперь можем его решить, для начала для простоты при базисных $A,$ а потом, если будет охота, и при произвольных. Начальные условия для интегрирования этого дифференциального уравнения, очевидно, $g(0)=1.$

1. Проделайте это, для $(a_1,a_2,a_3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),$ и соответственно, $(b_1,b_2,b_3)=(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1).$
2. Подставьте $t=\pi/2,\pi$ для группы $SU(2),$ и (поскольку коэффициенты $b_{1,2,3}$ "весят" вдвое больше) $t=\pi,2\pi$ для группы $SO(3).$ Получите по шесть неединичных элементов каждой группы, и найдите их всевозможные произведения между собой. Обратите внимание, какие произведения для двух групп изоморфны, а какие нет.