Длина кривой.

[ewert]

Shtorm в сообщении #889898 писал(а):

Он должен равняться просто $a$.

Это правда, а почему -- по рассеянности: я нечаянно поставил там предел после промежуточной замены $\sqrt x=t$. Непосредственно напрашивается именно она, добавка же постоянного множителя -- уже дополнительно к ней, из соображений размерности.

В любом случае: ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет, кроме дополнительной работы; так зачем же фантазировать? если самый тупой подход даёт вполне вменяемый интеграл.

[main.c]

ewert в сообщении #889903 писал(а):

В любом случае: ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет, кроме дополнительной работы; так зачем же фантазировать? если самый тупой подход даёт вполне вменяемый интеграл.

Ну нет, не могу тут с Вами согласиться, с заменой удобнее, и самая удобная замена это та, что предложил Storm, там получается такой вот интеграл:
$2 \int\limits_0^1 \sqrt{(a^2+b^2)t^2 - 2b^2t + b^2}dt = 2\sqrt{a^2 + b^2} \int\limits_0^1((t - \frac{b^2}{a^2+b^2})^2 + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^2})dt = 2\sqrt{a^2 + b^2} \int\limits_{- \frac{b^2}{a^2+b^2}}^{\frac{a^2}{a^2+b^2}}\sqrt{z^2 + c^2} dz, \ z = t - \frac{b^2}{a^2+b^2}, \ c^2 = \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}$
А это уже как Вы и сказали табличный интеграл, в итоге получается:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
Опечатка? Обычно "опечатка" - этой мой косяк , поэтому и спрашиваю.

[ewert]

main.c в сообщении #889935 писал(а):

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$

И, кстати, лучше уж так:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\right) + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\right)$.

[main.c]

ewert в сообщении #889951 писал(а):

main.c в сообщении #889935 писал(а):

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$

И, кстати, лучше уж так:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\right) + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\right)$.

Так я не пойму, в учебнике верный ответ, а у меня нет? Или они вообще равны?

[Shtorm]

ewert в сообщении #889903 писал(а):

ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет

Не бессмысленно. Выйдет. Смотрите как красиво, удобно и быстро:

Параметризуем исходную кривую:

$$ \begin{cases} x=at^2,&\ \ t\in[0,1]\\ y=b(1-t)^2& \end{cases} $$

Находим производные по параметру и их квадраты:

$x'_t=2at;\ \ y'_t=-2b(1-t)$

$(x'_t)^2=4a^2t^2;\ \ (y'_t)^2=4b^2(1-t)^2$

Подставляем в формулу длины дуги:

$$l=\int\limits_0^{1} \sqrt{4a^2t^2+4b^2(1-t)^2}\; dt$$

А дальше main.c уже написал.

main.c в сообщении #889935 писал(а):

А это уже как Вы и сказали табличный интеграл, в итоге получается:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$

У меня тоже такое выражение получилось. Значит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому. Давайте разбираться:

Открываем, например М.Я. Выгодский "Справочнк по высшей математике":

$$\int\sqrt{x^2+a^2}\;dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\cdot\ln\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right) +C$$

[ewert]

Shtorm в сообщении #889971 писал(а):

начит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому.

"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны, я же лишь попытался их привести к наиболее разумному виду. Ведь очевидно же изначально, что ответ должен быть симметричен относительно перестановки параметров.

[main.c]

ewert в сообщении #889975 писал(а):

Shtorm в сообщении #889971 писал(а):

начит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому.

"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны, я же лишь попытался их привести к наиболее разумному виду. Ведь очевидно же изначально, что ответ должен быть симметричен относительно перестановки параметров.

Согласен, но ответы отличаются не только перестановкой параметров, даже если в моём ответе поменять местами получится:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
а в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
Как видите, отличия всё-таки остаются.

[ewert]

main.c в сообщении #889977 писал(а):

Как видите, отличия всё-таки остаются.

Ну не знаю, Вы плюсик в пересказе затеряли или он в книжке и впрямь был затерян. В любом случае очевидно, что умножения там быть не может (почему я даже и не обратил на это внимания). Баловство всё это.

[Shtorm]

ewert в сообщении #889975 писал(а):

"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны,

Достаточно даже взять значения $a=1,\ \ b=1$, чтобы убедится, что все три наших выражения дают разные численные ответы.

-- Чт июл 24, 2014 21:40:29 --

main.c, я сейчас взял нашу формулу-ответ, подставил $a=1,\ \ b=1$, потом взял $l=\int\limits_0^{1} \sqrt{4a^2t^2+4b^2(1-t)^2}\; dt$ подставил туда эти единицы. Потом взял формулу, если бы выразили $y=y(x)$ и везде получился одинаковый ответ: $\approx 1,623$ (считал уже в Maple)

О чём это говорит?

[ewert]

об том, что хлопать ушами вредно -- сотрутся

[Shtorm]

ewert, ну Вы согласны, что наша формула верна, а Ваша не совсем как бы?

[Shtorm]

main.c, а можно узнать из какого задачника/учебника взята данная задача?

[Shtorm]

Итак, подведём итог:

ТС получил правильный ответ:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln\left(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})}\right)$

Ответ же, приведённый в задачнике:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})}\right)$

неверный.

Совершенно очевидно, что авторы задачника вместо знака "умножить" между логарифмом и коэффициентом перед ним поставили знак "плюс". Если эту опечатку устранить, то оба ответа будут правильными, хотя и записаны в разных видах.

С разрешения main.c, пишу выходные данные задачника и задачи:

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. "Задачи и упражнения по математическому анализу" часть 1, 1988 г. стр. 280, №102.
Не знаю, последнее это издание задачника или нет, но если будут ещё издания, то опечатку надо устранить. Надо написать авторам.