2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 15:43 
Shtorm в сообщении #889898 писал(а):
Он должен равняться просто $a$.

Это правда, а почему -- по рассеянности: я нечаянно поставил там предел после промежуточной замены $\sqrt x=t$. Непосредственно напрашивается именно она, добавка же постоянного множителя -- уже дополнительно к ней, из соображений размерности.

В любом случае: ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет, кроме дополнительной работы; так зачем же фантазировать? если самый тупой подход даёт вполне вменяемый интеграл.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 17:49 
ewert в сообщении #889903 писал(а):
В любом случае: ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет, кроме дополнительной работы; так зачем же фантазировать? если самый тупой подход даёт вполне вменяемый интеграл.

Ну нет, не могу тут с Вами согласиться, с заменой удобнее, и самая удобная замена это та, что предложил Storm, там получается такой вот интеграл:
$2 \int\limits_0^1 \sqrt{(a^2+b^2)t^2 - 2b^2t + b^2}dt = 2\sqrt{a^2 + b^2} \int\limits_0^1((t - \frac{b^2}{a^2+b^2})^2 + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^2})dt = 2\sqrt{a^2 + b^2} \int\limits_{- \frac{b^2}{a^2+b^2}}^{\frac{a^2}{a^2+b^2}}\sqrt{z^2 + c^2} dz, \ z = t - \frac{b^2}{a^2+b^2}, \ c^2 = \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}$
А это уже как Вы и сказали табличный интеграл, в итоге получается:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
Опечатка? Обычно "опечатка" - этой мой косяк :D , поэтому и спрашиваю.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 18:50 
main.c в сообщении #889935 писал(а):
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$

И, кстати, лучше уж так:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\right) + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\right)$.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 20:23 
ewert в сообщении #889951 писал(а):
main.c в сообщении #889935 писал(а):
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$

И, кстати, лучше уж так:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\right) + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\right)$.

Так я не пойму, в учебнике верный ответ, а у меня нет? Или они вообще равны?

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 20:25 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #889903 писал(а):
ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет


Не бессмысленно. Выйдет. Смотрите как красиво, удобно и быстро:

Параметризуем исходную кривую:
$$
\begin{cases}
 x=at^2,&\ \ t\in[0,1]\\
 y=b(1-t)^2&
\end{cases}
$$

Находим производные по параметру и их квадраты:

$x'_t=2at;\ \ y'_t=-2b(1-t)$

$(x'_t)^2=4a^2t^2;\ \ (y'_t)^2=4b^2(1-t)^2$

Подставляем в формулу длины дуги:
$$l=\int\limits_0^{1} \sqrt{4a^2t^2+4b^2(1-t)^2}\; dt$$

А дальше main.c уже написал.

main.c в сообщении #889935 писал(а):
А это уже как Вы и сказали табличный интеграл, в итоге получается:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$


У меня тоже такое выражение получилось. Значит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому. Давайте разбираться:

Открываем, например М.Я. Выгодский "Справочнк по высшей математике":

$$\int\sqrt{x^2+a^2}\;dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\cdot\ln\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right) +C$$

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 20:51 
Shtorm в сообщении #889971 писал(а):
начит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому.

"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны, я же лишь попытался их привести к наиболее разумному виду. Ведь очевидно же изначально, что ответ должен быть симметричен относительно перестановки параметров.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:02 
ewert в сообщении #889975 писал(а):
Shtorm в сообщении #889971 писал(а):
начит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому.

"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны, я же лишь попытался их привести к наиболее разумному виду. Ведь очевидно же изначально, что ответ должен быть симметричен относительно перестановки параметров.

Согласен, но ответы отличаются не только перестановкой параметров, даже если в моём ответе поменять местами получится:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
а в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
Как видите, отличия всё-таки остаются.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:18 
main.c в сообщении #889977 писал(а):
Как видите, отличия всё-таки остаются.

Ну не знаю, Вы плюсик в пересказе затеряли или он в книжке и впрямь был затерян. В любом случае очевидно, что умножения там быть не может (почему я даже и не обратил на это внимания). Баловство всё это.

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:25 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #889975 писал(а):
"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны,


:D Достаточно даже взять значения $a=1,\ \ b=1$, чтобы убедится, что все три наших выражения дают разные численные ответы.

-- Чт июл 24, 2014 21:40:29 --

main.c, я сейчас взял нашу формулу-ответ, подставил $a=1,\ \ b=1$, потом взял $l=\int\limits_0^{1} \sqrt{4a^2t^2+4b^2(1-t)^2}\; dt$ подставил туда эти единицы. Потом взял формулу, если бы выразили $y=y(x)$ и везде получился одинаковый ответ: $\approx 1,623$ (считал уже в Maple)

О чём это говорит? :D

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:50 
об том, что хлопать ушами вредно -- сотрутся

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:57 
Аватара пользователя
ewert, :D ну Вы согласны, что наша формула верна, а Ваша не совсем как бы?

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение25.07.2014, 16:57 
Аватара пользователя
main.c, а можно узнать из какого задачника/учебника взята данная задача?

 
 
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение26.07.2014, 14:28 
Аватара пользователя
Итак, подведём итог:

ТС получил правильный ответ:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln\left(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})}\right)$

Ответ же, приведённый в задачнике:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})}\right)$

неверный.

Совершенно очевидно, что авторы задачника вместо знака "умножить" между логарифмом и коэффициентом перед ним поставили знак "плюс". Если эту опечатку устранить, то оба ответа будут правильными, хотя и записаны в разных видах.

С разрешения main.c, пишу выходные данные задачника и задачи:

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. "Задачи и упражнения по математическому анализу" часть 1, 1988 г. стр. 280, №102.
Не знаю, последнее это издание задачника или нет, но если будут ещё издания, то опечатку надо устранить. Надо написать авторам.

 
 
 [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group