2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 15:43 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Shtorm в сообщении #889898 писал(а):
Он должен равняться просто $a$.

Это правда, а почему -- по рассеянности: я нечаянно поставил там предел после промежуточной замены $\sqrt x=t$. Непосредственно напрашивается именно она, добавка же постоянного множителя -- уже дополнительно к ней, из соображений размерности.

В любом случае: ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет, кроме дополнительной работы; так зачем же фантазировать? если самый тупой подход даёт вполне вменяемый интеграл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 17:49 


22/07/12
560
ewert в сообщении #889903 писал(а):
В любом случае: ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет, кроме дополнительной работы; так зачем же фантазировать? если самый тупой подход даёт вполне вменяемый интеграл.

Ну нет, не могу тут с Вами согласиться, с заменой удобнее, и самая удобная замена это та, что предложил Storm, там получается такой вот интеграл:
$2 \int\limits_0^1 \sqrt{(a^2+b^2)t^2 - 2b^2t + b^2}dt = 2\sqrt{a^2 + b^2} \int\limits_0^1((t - \frac{b^2}{a^2+b^2})^2 + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^2})dt = 2\sqrt{a^2 + b^2} \int\limits_{- \frac{b^2}{a^2+b^2}}^{\frac{a^2}{a^2+b^2}}\sqrt{z^2 + c^2} dz, \ z = t - \frac{b^2}{a^2+b^2}, \ c^2 = \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^2}$
А это уже как Вы и сказали табличный интеграл, в итоге получается:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
Опечатка? Обычно "опечатка" - этой мой косяк :D , поэтому и спрашиваю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 18:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #889935 писал(а):
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$

И, кстати, лучше уж так:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\right) + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\right)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 20:23 


22/07/12
560
ewert в сообщении #889951 писал(а):
main.c в сообщении #889935 писал(а):
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$
И, кстати, ответ в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$

И, кстати, лучше уж так:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\right) + \ln\left(1+\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\right)$.

Так я не пойму, в учебнике верный ответ, а у меня нет? Или они вообще равны?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 20:25 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
ewert в сообщении #889903 писал(а):
ну бессмысленно тут городить параметризации. Ничего хорошего всё равно заведомо не выйдет


Не бессмысленно. Выйдет. Смотрите как красиво, удобно и быстро:

Параметризуем исходную кривую:
$$
\begin{cases}
 x=at^2,&\ \ t\in[0,1]\\
 y=b(1-t)^2&
\end{cases}
$$

Находим производные по параметру и их квадраты:

$x'_t=2at;\ \ y'_t=-2b(1-t)$

$(x'_t)^2=4a^2t^2;\ \ (y'_t)^2=4b^2(1-t)^2$

Подставляем в формулу длины дуги:
$$l=\int\limits_0^{1} \sqrt{4a^2t^2+4b^2(1-t)^2}\; dt$$

А дальше main.c уже написал.

main.c в сообщении #889935 писал(а):
А это уже как Вы и сказали табличный интеграл, в итоге получается:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})})$


У меня тоже такое выражение получилось. Значит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому. Давайте разбираться:

Открываем, например М.Я. Выгодский "Справочнк по высшей математике":

$$\int\sqrt{x^2+a^2}\;dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^2+a^2}+\frac{a^2}{2}\cdot\ln\left( x+\sqrt{x^2+a^2}\right) +C$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 20:51 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Shtorm в сообщении #889971 писал(а):
начит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому.

"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны, я же лишь попытался их привести к наиболее разумному виду. Ведь очевидно же изначально, что ответ должен быть симметричен относительно перестановки параметров.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:02 


22/07/12
560
ewert в сообщении #889975 писал(а):
Shtorm в сообщении #889971 писал(а):
начит либо мы оба ошиблись, либо опечатка в задачнике, либо и правда эти выражения равны. А у ewert-a получилось по-другому.

"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны, я же лишь попытался их привести к наиболее разумному виду. Ведь очевидно же изначально, что ответ должен быть симметричен относительно перестановки параметров.

Согласен, но ответы отличаются не только перестановкой параметров, даже если в моём ответе поменять местами получится:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
а в учебнике:
$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})})$
Как видите, отличия всё-таки остаются.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:18 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
main.c в сообщении #889977 писал(а):
Как видите, отличия всё-таки остаются.

Ну не знаю, Вы плюсик в пересказе затеряли или он в книжке и впрямь был затерян. В любом случае очевидно, что умножения там быть не может (почему я даже и не обратил на это внимания). Баловство всё это.

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:25 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
ewert в сообщении #889975 писал(а):
"Это иллюзия, ..." (с). Оба варианта тождественны,


:D Достаточно даже взять значения $a=1,\ \ b=1$, чтобы убедится, что все три наших выражения дают разные численные ответы.

-- Чт июл 24, 2014 21:40:29 --

main.c, я сейчас взял нашу формулу-ответ, подставил $a=1,\ \ b=1$, потом взял $l=\int\limits_0^{1} \sqrt{4a^2t^2+4b^2(1-t)^2}\; dt$ подставил туда эти единицы. Потом взял формулу, если бы выразили $y=y(x)$ и везде получился одинаковый ответ: $\approx 1,623$ (считал уже в Maple)

О чём это говорит? :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:50 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
об том, что хлопать ушами вредно -- сотрутся

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение24.07.2014, 21:57 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
ewert, :D ну Вы согласны, что наша формула верна, а Ваша не совсем как бы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение25.07.2014, 16:57 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
main.c, а можно узнать из какого задачника/учебника взята данная задача?

 Профиль  
                  
 
 Re: Длина кривой.
Сообщение26.07.2014, 14:28 
Аватара пользователя


14/02/10
4956
Итак, подведём итог:

ТС получил правильный ответ:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}}\ln\left(\frac{a(a+\sqrt{a^2+b^2})}{b(-b+\sqrt{a^2+b^2})}\right)$

Ответ же, приведённый в задачнике:

$\frac{a^3 + b^3}{a^2+b^2} + \frac{a^2b^2}{(a^2+b^2)^{3/2}} + \ln\left(\frac{b(b+\sqrt{a^2+b^2})}{a(-a+\sqrt{a^2+b^2})}\right)$

неверный.

Совершенно очевидно, что авторы задачника вместо знака "умножить" между логарифмом и коэффициентом перед ним поставили знак "плюс". Если эту опечатку устранить, то оба ответа будут правильными, хотя и записаны в разных видах.

С разрешения main.c, пишу выходные данные задачника и задачи:

Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. "Задачи и упражнения по математическому анализу" часть 1, 1988 г. стр. 280, №102.
Не знаю, последнее это издание задачника или нет, но если будут ещё издания, то опечатку надо устранить. Надо написать авторам.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 28 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group