2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Главный идеал
Сообщение18.07.2014, 16:48 


06/12/13
274
Я правильно понимаю, что в целостном кольце идеал $(p)$ прост тогда и только тогда, когда $p$ - простой элемент кольца, а начиная с факториальных колец это справедливо и в случае $p$ - неприводим, так как здесь эти понятия уже совпадают? Перезанималась, однако... :oops:

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение18.07.2014, 20:55 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение20.07.2014, 03:32 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
AV_77 в сообщении #888536 писал(а):
Да.

А точно?
Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца? Легко показать, что данная эквивалентность выполняется для области главных идеалов. А факториальности, вроде, мало...
Впрочем, могу ошибаться (особенно учитывая время написания моего комментария).

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение20.07.2014, 04:23 
Заслуженный участник


14/03/10
867
VAL в сообщении #888860 писал(а):
Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца?
да; ведь если $p\in UFD$ неприводим и $p$ делит $a_1...a_nb_1...b_k$, то в силу единственности разложения $p=a_i$ или $p=b_i$ для какого-то $i$ с точностью до умножения на обратимые элементы (здесь у меня все $a_j$ и $b_j$ неприводимы)

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение20.07.2014, 06:45 


06/12/13
274
Вообще меня интересует следующий вопрос: при каких условиях на элемент $p$ главный идеал $(p)$ будет простым идеалом, а когда максимальным? Очень хотелось бы это проследить на такой цепочке структур

коммутативные кольца $\subset$ области целостности $\subset$ факториальные кольца $\subset$ области главных идеалов $\subset$ евклидовы кольца $\subset$ поля

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение20.07.2014, 12:51 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Простой элемент (отличный от нуля) всегда является неприводимым и порождает простой идеал (и обратно, если простой идеал порождается одним элементом, то этот элемент простой). В кольце главных идеалов он порождает максимальный идеал. В факториальном кольце простой элемент может не порождать максимальный идеал, как показывает пример кольца $\mathbb{Z}[x]$ и идеала $(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение20.07.2014, 13:43 
Заслуженный участник


27/06/08
4058
Волгоград
patzer2097 в сообщении #888862 писал(а):
VAL в сообщении #888860 писал(а):
Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца?
да; ведь если $p\in UFD$ неприводим и $p$ делит $a_1...a_nb_1...b_k$, то в силу единственности разложения $p=a_i$ или $p=b_i$ для какого-то $i$ с точностью до умножения на обратимые элементы (здесь у меня все $a_j$ и $b_j$ неприводимы)

Угу.
На менее сонную голову это очевидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение20.07.2014, 15:41 


06/12/13
274
Дополню, простой (он же максимальный) идеал в любом поле - только нулевой идеал $\{0\}.$ Евклидовы кольца: простой идеал $=$ максимальному идеалу. А в коммутативных кольцах можем указать, когда $(p)$ - максимальный идеал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение20.07.2014, 22:20 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
OlgaD в сообщении #888939 писал(а):
А в коммутативных кольцах можем указать, когда $(p)$ - максимальный идеал?

В общем случае, наверное нет. Возьмем два кольца $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}$ и в них возьмем элемент $p = (1, 0)$. В обоих кольцах он является простым, является делителем нуля, идемпотентом, имеет бесконечный порядок. То есть существенных отличий сразу не видно. Но в первом случае идеал $(p)$ простой, а во втором - максимальный.

 Профиль  
                  
 
 Re: Главный идеал
Сообщение21.07.2014, 19:34 


06/12/13
274
Спасибо. Теперь стало понятнее :-)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group