Главный идеал

[OlgaD]

Я правильно понимаю, что в целостном кольце идеал $(p)$ прост тогда и только тогда, когда $p$ - простой элемент кольца, а начиная с факториальных колец это справедливо и в случае $p$ - неприводим, так как здесь эти понятия уже совпадают? Перезанималась, однако...

[AV_77]

Да.

[VAL]

AV_77 в сообщении #888536 писал(а):

Да.

А точно?
Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца? Легко показать, что данная эквивалентность выполняется для области главных идеалов. А факториальности, вроде, мало...
Впрочем, могу ошибаться (особенно учитывая время написания моего комментария).

[patzer2097]

VAL в сообщении #888860 писал(а):

Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца?

да; ведь если $p\in UFD$ неприводим и $p$ делит $a_1...a_nb_1...b_k$, то в силу единственности разложения $p=a_i$ или $p=b_i$ для какого-то $i$ с точностью до умножения на обратимые элементы (здесь у меня все $a_j$ и $b_j$ неприводимы)

[OlgaD]

Вообще меня интересует следующий вопрос: при каких условиях на элемент $p$ главный идеал $(p)$ будет простым идеалом, а когда максимальным? Очень хотелось бы это проследить на такой цепочке структур

коммутативные кольца $\subset$ области целостности $\subset$ факториальные кольца $\subset$ области главных идеалов $\subset$ евклидовы кольца $\subset$ поля

[AV_77]

Простой элемент (отличный от нуля) всегда является неприводимым и порождает простой идеал (и обратно, если простой идеал порождается одним элементом, то этот элемент простой). В кольце главных идеалов он порождает максимальный идеал. В факториальном кольце простой элемент может не порождать максимальный идеал, как показывает пример кольца $\mathbb{Z}[x]$ и идеала $(x)$.

[VAL]

patzer2097 в сообщении #888862 писал(а):

VAL в сообщении #888860 писал(а):

Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца?

да; ведь если $p\in UFD$ неприводим и $p$ делит $a_1...a_nb_1...b_k$, то в силу единственности разложения $p=a_i$ или $p=b_i$ для какого-то $i$ с точностью до умножения на обратимые элементы (здесь у меня все $a_j$ и $b_j$ неприводимы)

Угу.
На менее сонную голову это очевидно.

[OlgaD]

Дополню, простой (он же максимальный) идеал в любом поле - только нулевой идеал $\{0\}.$ Евклидовы кольца: простой идеал $=$ максимальному идеалу. А в коммутативных кольцах можем указать, когда $(p)$ - максимальный идеал?

[AV_77]

OlgaD в сообщении #888939 писал(а):

А в коммутативных кольцах можем указать, когда $(p)$ - максимальный идеал?

В общем случае, наверное нет. Возьмем два кольца $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Z}$ и $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}$ и в них возьмем элемент $p = (1, 0)$. В обоих кольцах он является простым, является делителем нуля, идемпотентом, имеет бесконечный порядок. То есть существенных отличий сразу не видно. Но в первом случае идеал $(p)$ простой, а во втором - максимальный.

[OlgaD]

Спасибо. Теперь стало понятнее