Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия, Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
Последний раз редактировалось OlgaD 18.07.2014, 16:49, всего редактировалось 2 раз(а).
Я правильно понимаю, что в целостном кольце идеал прост тогда и только тогда, когда - простой элемент кольца, а начиная с факториальных колец это справедливо и в случае - неприводим, так как здесь эти понятия уже совпадают? Перезанималась, однако...
А точно? Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца? Легко показать, что данная эквивалентность выполняется для области главных идеалов. А факториальности, вроде, мало... Впрочем, могу ошибаться (особенно учитывая время написания моего комментария).
Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца?
да; ведь если неприводим и делит , то в силу единственности разложения или для какого-то с точностью до умножения на обратимые элементы (здесь у меня все и неприводимы)
OlgaD
Re: Главный идеал
20.07.2014, 06:45
Вообще меня интересует следующий вопрос: при каких условиях на элемент главный идеал будет простым идеалом, а когда максимальным? Очень хотелось бы это проследить на такой цепочке структур
коммутативные кольца области целостности факториальные кольца области главных идеалов евклидовы кольца поля
AV_77
Re: Главный идеал
20.07.2014, 12:51
Последний раз редактировалось AV_77 20.07.2014, 12:56, всего редактировалось 1 раз.
Простой элемент (отличный от нуля) всегда является неприводимым и порождает простой идеал (и обратно, если простой идеал порождается одним элементом, то этот элемент простой). В кольце главных идеалов он порождает максимальный идеал. В факториальном кольце простой элемент может не порождать максимальный идеал, как показывает пример кольца и идеала .
Разве для эквивалентности простоты и неприводимости достаточно факториальности кольца?
да; ведь если неприводим и делит , то в силу единственности разложения или для какого-то с точностью до умножения на обратимые элементы (здесь у меня все и неприводимы)
Угу. На менее сонную голову это очевидно.
OlgaD
Re: Главный идеал
20.07.2014, 15:41
Дополню, простой (он же максимальный) идеал в любом поле - только нулевой идеал Евклидовы кольца: простой идеал максимальному идеалу. А в коммутативных кольцах можем указать, когда - максимальный идеал?
А в коммутативных кольцах можем указать, когда - максимальный идеал?
В общем случае, наверное нет. Возьмем два кольца и и в них возьмем элемент . В обоих кольцах он является простым, является делителем нуля, идемпотентом, имеет бесконечный порядок. То есть существенных отличий сразу не видно. Но в первом случае идеал простой, а во втором - максимальный.