Задача о четырехугольнике

Vitalius · 02/08/12 142

mishafromusa в сообщении #888662 писал(а):

...ГМТ касания двух окружностей, одна из которых проходит через $P$ и $R$ , а другая -- через $Q$ и $S$ ...

Эти две окружности пересекают диагональ $BD$ искомого четырёхугольника $ABCD$ . Надо рассматривать окружности, которые проходят через $Q$ и $R$ (первая), и $P$ и $S$ (вторая), т.е. слева и справа от диагонали $BD$ . Ибо первые две окружности, которые рассматриваем проходят слева и справа от диагонали $AC$ искомого четырёхугольника $ABCD$ .

mishafromusa в сообщении #888662 писал(а):

...эта система уравнений определяет точки $K$ , в которых касательные к обеим окружностям горизонтальны.

Можно ли более подробно об этом?

Иначе ту систему, которую Вы предлагаете тоже можем записать как условия, чтобы две детерминанты равнялись нулю:

$\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial F_{KPQ}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KPQ}}{\partial y}} \\ \frac{\partial F_{KRS}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KRS}}{\partial y}} \\ \end{array} \right|_{(x,y)=(x_{K},y_{K})}=0$ ,

$\left| \begin{array}{cc} \frac{\partial F_{KQR}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KQR}}{\partial y}} \\ \frac{\partial F_{KSP}}{\partial x}} & \frac{\partial F_{KSP}}{\partial y}} \\ \end{array} \right|_{(x,y)=(x_{K},y_{K})}=0$ .

Подробно расписана, Ваша система для $x_{K}$ и $y_{K}$ (после уточнения о том каковы должны быть вторые две окружности) выглядит так:

$\begin{array}{c}\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|\left| \begin{array}{cccc} 2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|-\\ \\ -\left| \begin{array}{cccc} 2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|=0, \end{array}$

$\begin{array}{c}\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ \end{array} \right|\left| \begin{array}{cccc} 2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ \end{array} \right|-\\ \\ -\left| \begin{array}{cccc} 2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ \end{array} \right|\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ \end{array} \right|=0. \end{array}$

mishafromusa · 12/02/14 808