2. Судя по первому определению

гладкая кривая? Просто интуитивно она не подходит под слово "гладкая".
Сдаётся мне, что надо подкорректировать лекции, которыми Вы пользуетесь:
Определение
Кривая

называется гладкой в точке

, если в этой точке существует касательная к кривой

и некоторая окрестность точки

на кривой

однозначно проектируется на эту касательную.
Достаточное условие гладкости в точке
Пусть кривая L задана векторной функцией

, имеющей в некоторой окрестности значения

непрерывную производную

, причём

. Тогда кривая

является гладкой в точке

, отвечающей значению

.
(Позняк, Шикин "Дифференциальная геометрия")