Гладкая кривая.

[main.c]

ewert в сообщении #888621 писал(а):

main.c в сообщении #888619 писал(а):

Как тут можно плохо параметризовать?

Кусочно параметризуйте. Потребуйте, чтобы середине отрезка для $t$ соответствовала какая-нибудь не средняя точка линии. И параметризуйте на каждой половине того отрезка линейно.

Ничего не понимаю. Кривая-то тогда будет другая, а тут а я говорю о параметризации одной и той же кривой. Все параметризации для данной линии отличаются лишь коэфициентом перед параметром и отрезком, который пробегает параметр. А Вы мне предлагаете задать другую кривую.

-- 19.07.2014, 00:01 --

mihailm в сообщении #888623 писал(а):

main.c в сообщении #888619 писал(а):

...Как тут можно плохо параметризовать?

Другие монотонные функции знаете?

Конечно, $y = \ln x$

[Aritaborian]

main.c в сообщении #888624 писал(а):

Все параметризации для данной линии отличаются лишь коэфициентом перед параметром и отрезком, который пробегает параметр.

В том-то и дело, что это не так ;-)

[mihailm]

main.c в сообщении #888624 писал(а):

...Конечно, $y = \ln x$

Неплохо, можете с его помощью кусок прямой $y=x$ задать?

[ewert]

main.c в сообщении #888624 писал(а):

Кривая-то тогда будет другая,

Что значит другая?...

Вам было предложено разбить некий отрезок некоей прямой линии на два подотрезка. Верно ли, что объединение этих подотрезков не будет иметь ничего общего с исходным отрезком?...

[Shtorm]

Вот пример плохой параметризации для прямой $y=x$:

$$ \begin{cases} x=\frac {1}{t},\\ y=\frac {1}{t}\, \end{cases} $$

В этом случае производные $x$ и $y$ по параметру $t$ не будут непрерывными, следовательно и вектор-функция не будет непрерывной, следовательно касательная существует не во всех точках и следовательно гладкость не просматривается на всей области определения.

[mihailm]

Тоже неплохо, Shtorm, но тут что то не так, на каком отрезке у вас параметр?

[main.c]

Shtorm в сообщении #888633 писал(а):

Вот пример плохой параметризации для прямой $y=x$:

$$ \begin{cases} x=\frac {1}{t},\\ y=\frac {1}{t}\, \end{cases} $$

В этом случае производные $x$ и $y$ по параметру $t$ не будут непрерывными, следовательно и вектор-функция не будет непрерывной, следовательно касательная существует не во всех точках и следовательно гладкость не просматривается на всей области определения.

С такими координатными функциями у нас вообще не получится задать отрезок $y = x$ для $x \in [-5, 5]$, потому что не получится задать точку $(0, 0)$

-- 19.07.2014, 00:31 --

Допустим есть у нас кривая $y = x, x \in [-100, 100]$. Какую бы мы параметризацию не взяли, она будет непрерывно-дифференцируемой. Пример, который предложил Storm сюда не подходит, так как с его параметризацией можно только задать кривую $y = x, x \in [-100, 0) \cup (0, 100]$.

[Shtorm]

mihailm, main.c, да, Вы правы. Лучше привести другой пример плохой параметризации для прямой $y=x$:

$$ \begin{cases} x=t^{\frac{1}{3}},\\ y=t^{\frac{1}{3}}\, \end{cases} $$

[main.c]

Shtorm в сообщении #888640 писал(а):

mihailm, main.c, да, Вы правы. Лучше привести другой пример плохой параметризации для прямой $y=x$:

$$ \begin{cases} x=t^{\frac{1}{3}},\\ y=t^{\frac{1}{3}}\, \end{cases} $$

Да, при $t = 0$ производная не является непрерывной. Спасибо за пример, теперь стало всё гораздо понятнее.

-- 19.07.2014, 00:52 --

И ещё пару вопросов по данной теме.
"Точка $M_0$ гладкой кривой Г называется регулярной точкой кривой, если существует такая параметризация $\vec{r(t)}$ кривой Г, которая имеет непрерывную производную и $\vec{r'(t_0)} \neq 0$, где $\vec{r(t_0)} = M_0$."
1. Регулярные точки есть только у гладкой кривой?
2. Судя по первому определению $x = t^2, y = t^3$ гладкая кривая? Просто интуитивно она не подходит под слово "гладкая".

[demolishka]

Вас не зря смущает такое определение гладкой кривой. На самом деле в нормальных учебниках гладкой кривой считается образ регулярной параметризации(это такая, где производные в ноль нигде не обращаются). У вас же вводится отдельно понятие регулярных точек, и далее будет введен термин регулярная кривая(та, у которой все точки - регулярные).

[Shtorm]

main.c в сообщении #888642 писал(а):

2. Судя по первому определению $x = t^2, y = t^3$ гладкая кривая? Просто интуитивно она не подходит под слово "гладкая".

Сдаётся мне, что надо подкорректировать лекции, которыми Вы пользуетесь:

Определение
Кривая $L$ называется гладкой в точке $M_0$, если в этой точке существует касательная к кривой $L$ и некоторая окрестность точки $M_0$ на кривой $L$ однозначно проектируется на эту касательную.

Достаточное условие гладкости в точке
Пусть кривая L задана векторной функцией $\vec{r}=\vec{r}(t)$, имеющей в некоторой окрестности значения $t_0\in\{t\}$ непрерывную производную $\mathbf{r'}(t)$, причём $\mathbf{r'}(t_0)\ne0 $. Тогда кривая $L$ является гладкой в точке $M_0$, отвечающей значению $t_0$.
(Позняк, Шикин "Дифференциальная геометрия")

[main.c]

Shtorm в сообщении #888804 писал(а):

main.c в сообщении #888642 писал(а):

2. Судя по первому определению $x = t^2, y = t^3$ гладкая кривая? Просто интуитивно она не подходит под слово "гладкая".

Сдаётся мне, что надо подкорректировать лекции, которыми Вы пользуетесь:

Определение
Кривая $L$ называется гладкой в точке $M_0$, если в этой точке существует касательная к кривой $L$ и некоторая окрестность точки $M_0$ на кривой $L$ однозначно проектируется на эту касательную.

Достаточное условие гладкости в точке
Пусть кривая L задана векторной функцией $\vec{r}=\vec{r}(t)$, имеющей в некоторой окрестности значения $t_0\in\{t\}$ непрерывную производную $\mathbf{r'}(t)$, причём $\mathbf{r'}(t_0)\ne0 $. Тогда кривая $L$ является гладкой в точке $M_0$, отвечающей значению $t_0$.
(Позняк, Шикин "Дифференциальная геометрия")

Если брать конкретный учебник по дифференциальной геометрии, то какой лучше всего брать (критерий - попроще)? Позняка, Шикина или какой другой посоветуете?

-- 20.07.2014, 13:26 --

Нашёл ещё вот такую: "Погорелов А. И. Дифференциальная геометрия (6-е издание). М.: Наука, 1974." , но смущает что уже 40 лет прошло. Кто-нибудь может что-то о ней сказать?

[Shtorm]

main.c, лично на мой взгляд, нужно иметь самые различные учебники, задачники, решебники и.т.п. по дифференциальной геометрии (и не только), чтобы максимально полно владеть материалом. Так что скачивайте (приобретайте) самые различные книги по высшей математике. И задавайте по-больше вопросов своему преподавателю (глядишь и сам преподаватель что-то осознает)
Касательно же того, что 40 лет прошло - это не существенно, с точки зрения того,что изложено в книге. Другое дело, что в более новой книге может быть изложено что-то, чего в старой книге нет, но ведь может быть и наоборот.