Гладкая кривая.

[main.c]

Цитата:

Кривая Г называется гладкой, если существует такая её параметризация, что векторная функция $\vec{r(t)}$ имеет непрерывные производные в каждой точке отрезка $[a, b]$.

Меня несколько сбивает с толку данное определение, поэтому пару вопросов:
1. Разве непрерывность производной зависит от параметризации? Кривая-то одна и та же.
2. Как это "имеет непрерывные производные в каждой точке"? Я не придираюсь, но честно говоря, если тут имелось ввиду "имеет производную, непрерывную в каждой точке", то по-моему так говорить как-то некорректно (сбивает с толку - вдруг автор имел ввиду что-то другое?). Или это всё-таки корректно так говорить?

[Aritaborian]

А что такое параметризация? А что такое производная векторной функции?

[mihailm]

Непрерывность ясен перец зависит от параметризации.
Производные, потому что их 2 или 3, дифференцируем то вектор.

[Aritaborian]

mihailm в сообщении #888609 писал(а):

Непрерывность ясен перец зависит от параметризации.

Вот уж сказали как отрезали, ага.

mihailm в сообщении #888609 писал(а):

Производные, потому что их 2 или 3, дифференцируем то вектор.

Это я и хотел услышать от main.c, зачем было перебивать?

[main.c]

Aritaborian в сообщении #888606 писал(а):

А что такое параметризация? А что такое производная векторной функции?

Чтобы избежать дальнейших уточняющих вопросов, вот мои лекции, данное определение на стр. 32.
Интегральное_исчисление.pdf

[ewert]

main.c в сообщении #888604 писал(а):

Кривая Г называется гладкой, если существует такая её параметризация, что векторная функция $\vec{r(t)}$ имеет непрерывные производные в каждой точке отрезка $[a, b]$.

Это, в принципе, вполне стандартное определение, однако одного принципиальнейшего же пункта в нём явно недостаёт.

main.c в сообщении #888604 писал(а):

1. Разве непрерывность производной зависит от параметризации? Кривая-то одна и та же.

Зависит, естественно. Потому и произнесено волшебное слово "существует".

[main.c]

Производная дана через предел, а он один, но теперь мне ясно, почему автор так выразился. А можно пример, где зависит от параметризации?

[Aritaborian]

main.c в сообщении #888614 писал(а):

Производная дана через предел, а он один, но теперь мне ясно, почему автор так выразился.

[mihailm]

Кусок прямой $y=x$ попробуйте как нибудь по-плохому параметризовать

[ewert]

main.c в сообщении #888614 писал(а):

А можно пример, где зависит от параметризации?

А и не нужен пример. Просто возьмите для начала хорошую, гладкую параметризацию А потом подставьте под неё функцию, которая непрерывная, но и не гладкая. Будет ли суперпозиция гладкой?...

[mihailm]

ewert в сообщении #888613 писал(а):

...однако одного принципиальнейшего же пункта в нём явно недостаёт...

А вот интересно, без принципиального пункта кривая может быть особенно часто угловатой?

[main.c]

mihailm в сообщении #888616 писал(а):

Кусок прямой $y=x$ попробуйте как нибудь по-плохому параметризовать

Может я не так понимаю данный термин?
$x = t, y = t, t \in [-10, 10]$ - одна параметризация
$x = 2t, y = 2t, t \in [-5, 5]$ - другая параметризация
Как тут можно плохо параметризовать?

[Aritaborian]

ewert в сообщении #888617 писал(а):

Просто возьмите для начала хорошую, гладкую параметризацию А потом подставьте под неё функцию, которая непрерывная, но и не гладкая.

[ewert]

main.c в сообщении #888619 писал(а):

Как тут можно плохо параметризовать?

Кусочно параметризуйте. Потребуйте, чтобы середине отрезка для $t$ соответствовала какая-нибудь не средняя точка линии. И параметризуйте на каждой половине того отрезка линейно.

-- Сб июл 19, 2014 00:57:29 --

(Оффтоп)

mihailm в сообщении #888618 писал(а):

без принципиального пункта кривая может быть особенно часто угловатой?

без принципиальности особость может оказаться сколь угодно особой, особенно если не определить заранее понятие особенности

[mihailm]

main.c в сообщении #888619 писал(а):

...Как тут можно плохо параметризовать?

Другие монотонные функции знаете?