задача про шайбу и лёд

[function]

Здравствуйте! Помогите разобраться со следующей задачей:
Шайба массы $m$ летит с горизонтальной скоростью $v_0$ на высоте $h$. После удара плашмя о горизонтальную поверхность льда, шайба подскакивает на прежнюю высоту. В момент отрыва от поверхности льда вектор скорости шайбы образует угол $\beta$ с вертикалью. Найдите коэффициент трения скольжения шайбы по поверхности льда.

Запишем второй закон Ньютона для данной ситуации: $\Delta\overrightarrow{p}=\left(\overrightarrow{F_{Tp}}+m\overrightarrow{g}+\overrightarrow{N}\right)\Delta t$. Пусть время падения шайбы равно $\tau$, тогда суммируя горизонтальные проекции приращения, имеем: $\sum\Delta p_{x}=-{\displaystyle \sum_{t=0}^{\tau}}\mu N\Delta t=-\mu N\tau=mv_{1}\sin\beta-mv_{0}$, где $v_1$ --- скорость в момент удара. Аналогично: $\sum\Delta p_{y}={\displaystyle \sum_{t=0}^{\tau}}N\Delta t-{\displaystyle \sum_{t=0}^{\tau}}mg\Delta t=N\tau-mg\tau=mv_{1}\cos\beta-m\sqrt{2gh}$. Если при ударе вертикальная составляющая вектора скорости неизменна, то выходит, что последнее выражение есть не что иное, как нуль. Скорость $v_1$ найти просто из закона сохранения (в тот момент, когда шайба взлетает на прежнюю высоту): $v_1=\sqrt{2gh}$. И окончательно имеем печальное уравнение с неубирающимся $\tau$: $\mu g\tau=v_{0}-\sqrt{2gh}\sin\beta$.

[Ms-dos4]

Пишите через интегралы, лишняя фигня типа сумм (да ещё и записанных неверно) тут явно ни к чему. В проекции на $y$ явно лишнее слагаемое для сил тяжести, нужно писать сразу для взаимодействия со льдом, т.е. для скорости $\[{v_y}\]$. Далее мне абсолютно неясно откуда у вас появились синусы/косинусы углов, их там быть не должно. А, понял. Вам не нужно переходить от проекций, угол (точнее его тангенс) есть $\[\frac{{{v_x}}}{{{v_y}}}\] $
P.S. И вы, надёюсь, оговорились - $\[\tau \]$ есть время взаимодействия со льдом, а не время падения.

[GraNiNi]

function в сообщении #888478 писал(а):

... шайба подскакивает на прежнюю высоту.

В реальности этого быть не может, коэффициент восстановления всегда меньше 1.

[Oleg Zubelevich]

шайба, видимо, была материальной точкой. Пишем уравнение теории удара:

$$m(\vec v^+-\vec v^-)=\vec F$$

$\vec v^+\vec v^-$ -- скорость через мгновение после удара и за мгновение до удара соответственно, $\vec F$ -- ударная реакция, определяется аналогично силе трения.

[function]

Oleg Zubelevich в сообщении #888494 писал(а):

шайба, видимо, была материальной точкой. Пишем уравнение теории удара:

$$m(\vec v^+-\vec v^-)=\vec F$$

$\vec v^+\vec v^-$ -- скорость через мгновение после удара и за мгновение до удара соответственно, $\vec F$ -- ударная реакция, определяется аналогично силе трения.

Если записать уравнение удара для данной задачи, то получится уравнение: $-\mu g=v_{0}-\sqrt{2gh}\sin\beta$. А моё конечное уравнение выглядит так: $\mu g\tau=v_{0}-\sqrt{2gh}\sin\beta$. Понятно, что минус особой роли не играет, как издержка проекции, но в моём уравнении почему-то не сократилось $\tau$. Никак не могу понять почему.

[Oleg Zubelevich]

саомдеятельностью заниматься не надо.

В вертикальной плоскости траектории шайбы введем декартову систему координат $OXY$, ось $Y$ направлена вертикально вверх. Скорость $\vec v^-=v^-_x\vec e_x+v^-_y \vec e_y$ Вы можете вычислить. Далее, по условию задачи имеем:

$$\vec v^+=v(\cos\beta \vec e_y+\sin\beta \vec e_x),\quad \vec F=N\vec e_y-\mu N\vec e_x$$

Таким образом у Вас три неизвестных: $v,N,\mu$ и три уравнения: векторное уравнение, которое я написал выше и условие того, что шайба подлетает на прежнюю высоту. Это все для случая проскальзывания.

[function]

Oleg Zubelevich в сообщении #888501 писал(а):

саомдеятельностью заниматься не надо...

(Оффтоп)

А что это?

Oleg Zubelevich в сообщении #888501 писал(а):

...В вертикальной плоскости траектории шайбы введем декартову систему координат $OXY$, ось $Y$ направлена вертикально вверх. Скорость $\vec v^-=v^-_x\vec e_x+v^-_y \vec e_y$ Вы можете вычислить. Далее, по условию задачи имеем:

$$\vec v^+=v(\cos\beta \vec e_y+\sin\beta \vec e_x),\quad \vec F=N\vec e_y-\mu N\vec e_x$$

Таким образом у Вас три неизвестных: $v,N,\mu$ и три уравнения: векторное уравнение, которое я написал выше и условие того, что шайба подлетает на прежнюю высоту. Это все для случая проскальзывания.

В результате решения всей этой системы разве не образуется уравнение: $-\mu g=v_{0}-\sqrt{2gh}\sin\beta$?

[Ms-dos4]

Запишите, чему равно $\[\Delta {p_y} = \int\limits_0^\tau {Ndt} = ...\]$, если известно, что шайба отскакивает на ту же высоту.

[function]

Ms-dos4, а почему не ${\displaystyle \Delta p_{y}=\int \limits _{0}^{\tau}}\left(N-mg\right)dt$?

[Ms-dos4]

function
$\[\tau \]$ это время взаимодействия со льдом. И у вас получается полный бред, всё смешано, и сила нормального давления и сила тяжести... Я же русским языком сказал вам рассматривать момент сразу перед ударом и после отскока, когда у шайбы скорость $\[{v_y} = ...\]$

[function]

Тогда $\Delta p_{y}=N\tau=m\left(\sqrt{2gh}\cos\beta-\sqrt{2gh}\right)$?

[Ms-dos4]

function
Мдаа.. Вы 7 класс школы то подучите. Какая была проекция импульса на ось y прямо до удара и после? Это же очевидно из того, что шайба подлетает на ту же высоту. Вот разность между проекциями и найдите. А то вы какой то бред пишите.

[function]

$\Delta p_{y}=N\tau=2mv_{0}\cos\beta$. Но никак не могу понять, почему в данном уравнении отсутствует сила тяжести, ведь при проектировании она сохраняется, а изменение импульса системы материальных точек равно сумме всех сил, действующих на данную систему.

[Oleg Zubelevich]

учебник читать не пробовали? http://stu.sernam.ru/book_stm.php?id=152

[Munin]

Что за учебник такой загадочный: без автора и названия?

-- 20.07.2014 11:21:22 --

Oleg Zubelevich
Кстати, скорость - это всего лишь первая производная от координаты. Если в механике отдельно рассматриваются конечные разрывы скорости, то почему не рассматриваются конечные разрывы самой координаты? :twisted:

-- 20.07.2014 11:39:59 --

"Следствие 1" в конце § 156 нельзя назвать грамотным: удар молотка о гвоздь никак нельзя назвать неупругим.