Системы с нарушением принципа линейной суперпозиции

[Prikol]

lek в сообщении #886694 писал(а):

Существует метод Овсянникова-Ибрагимова нахождения инвариантных решений систем уравнений, основанный на изучении их симметрийных свойств. Он в равной степени подходит, как для линейных, так и для нелинейных уравнений. Так например, хорошо известное решение вида бегущей волны представляет собой инвариантное решение для однопараметрической подгруппы с инфинитезимальным генератором $\partial/c\partial t+\partial/\partial x$. Очевидно, суперпозиция возникает отсюда как следствие такой групповой структуры. Что касается "нелинейной суперпозиции"... Если генератор нелинеен, то никакой суперпозиции (в классическим ее понимании) разумеется не будет. Если же речь идет о нахождении новых решений, то групповой анализ может оказаться полезным. Так, все инстантонные и многие солитонные решения были получены подобным способом.

lek,

Благодарю, интересные мысли!
В свое вреямя с методом Овсянникова-Ибрагимова, а также с похожими подходами включая П. Олвер, А.Н. Лезнов, М.В. Савельев и др. я пробовал разные возможности, но потом сконцентрировался в более узкой области включающей метод ОЗР, метод Лакса, представление нулевой кривизны (хотя в сущности все три термина одно и то же).

[пианист]

Prikol
Есть одно не очень широко известное пересечение этих двух тематик: конечнозонные решения Новикова (вариация МОЗР на случай периодических краевых условий) являются инвариантными относительно групп Ли-Беклунда (они же высшие инфинитезимальные симметрии Виноградова, Олвер их тоже как-то по своему называет).

[Prikol]

пианист в сообщении #886960 писал(а):

Prikol
Есть одно не очень широко известное пересечение этих двух тематик: конечнозонные решения Новикова (вариация МОЗР на случай периодических краевых условий) являются инвариантными относительно групп Ли-Беклунда (они же высшие инфинитезимальные симметрии Виноградова, Олвер их тоже как-то по своему называет).

пианист,

Новиков конечно сильно продвинул метод ОЗР. До него конечнозонные решения хотя и были известны в ФТТ, но дело ограничивалось максимум одиночной кноидальной волной. После того, что он сделал, уже наверно даже трудно что-либо добавить к периодическому случаю.

Группы Ли-Беклунда уже довольно хорошо известны, считается вроде, что соответствующие уравнения можно всегда записать. А вот решить - как повезет.

Преобразование Ли-Беклунда и Беклунда обычно различают.

Вообще, уравнению КдВ конечно здорово повезло. Первый оператор Лакса для него оказался в точности одномерным оператором Шредингера и все, что для Шредингера было ранее сделано, легко переносилось на КдВ.

Но для других нелинейный уравнений первый оператор часто имеет такой ужасный вид, что его даже неловко показывать в приличном обществе.

[пианист]

Prikol в сообщении #887969 писал(а):

Преобразование Ли-Беклунда и Беклунда обычно различают

Я бы сказал, их довольно сложно спутать :) По-моему, кроме имени Беклунда (не знаю, насколько справедливо) пришпиленого, эти два предмета ничего и не связывает.

Prikol в сообщении #887969 писал(а):

Вообще, уравнению КдВ конечно здорово повезло. Первый оператор Лакса для него оказался в точности одномерным оператором Шредингера

Ну, если бы не это, полагаю, МОЗР бы не состоялся. Вообще, это было удивительное стечение обстоятельств.

[Prikol]

пианист в сообщении #887984 писал(а):

Prikol в сообщении #887969 писал(а):

Преобразование Ли-Беклунда и Беклунда обычно различают

Я бы сказал, их довольно сложно спутать :) По-моему, кроме имени Беклунда (не знаю, насколько справедливо) пришпиленого, эти два предмета ничего и не связывает.

Тем не менее, я встречал людей, которые эту "сложность" успешно преодолевали и лихо путали. Поэтому я на всякий случай начал осторожно и издалека.

пианист в сообщении #887984 писал(а):

Prikol в сообщении #887969 писал(а):

Вообще, уравнению КдВ конечно здорово повезло. Первый оператор Лакса для него оказался в точности одномерным оператором Шредингера

Ну, если бы не это, полагаю, МОЗР бы не состоялся. Вообще, это было удивительное стечение обстоятельств.

Миура давно ничего не помнит и занят другими вещами. Крускал вероятно сыграл решающую роль. Он ранее с Забуски обнаружил в численных экспериментах упругость столкновения солитонов, а дальше было уже легче. Был стимул понять почему так получается.

[пианист]

Я тоже слышал, что основной вклад был Крускала.
И, конечно, просто чудо, что уже была работа Гельфанда и Левитана, без нее просто была бы еще одна статья с попыткой понять, чем же таким особенным отличается КдФ.

[Prikol]

И теперь, когда мы столько знаем, осталось совсем немного:

• Взять странный аттрактор Лоренца
• Затравочное решение для любых t имеется - это стационарное состояние
• И теперь любым методом надо получить хотя бы одно аналитическое нетривиальное решение для любых (не малых) t

Интересно, почему этого до сих пор никто не сделал? Имеется ли теорема запрещающая это?

[Oleg Zubelevich]

(Оффтоп)

нахвататься то он нахватался

[Prikol]

Prikol в сообщении #888449 писал(а):

Интересно, почему этого до сих пор никто не сделал? Имеется ли теорема запрещающая это?

Решил проверить, погуглил публикации, стал читать как всегда с середины статьи. Чувствую, автор мыслит категориями! (сам себя не похвалишь ... ) Думаю кто ж такой?

Надо чаще свои старые публикации перечитывать. Контрпример, как известно, опровергает теорему, тем более предполагаемую.

[Lukum]

Дайте линк на публикацию, плиз, интересно же посмотреть статью, где автор мыслит и не просто, а категориями

[Prikol]

Это была самоирония, даже самосарказм.

Учебники Арнольда это хороший пример автора, который мыслит категориями.