Это понятно, вопрос не в этом, а наоборот: как из рассуждения о том, что т.к. все лоренцевские и т.п. симметрии рассмотрены выше, следовательно, симметрии должны проявляться в не пространственно-временных коэффициентах

при б.м. параметрах преобразования, вытекает необходимость более чем одной скалярной функции?
Ну, во-первых обозначения

мне не понятны.
Если уж

-- одно из скалярных полей, а

обозначим действие группы над этим полем, то инфинитезимальный оператор( И.О.) будет

. Так как

, то

и

как раз и будут И.О. данной группы.
Так вот, если следовать данной логике и смотреть на выражение

, где

- инфинитезимальный параметр преобразования
как на то, что я написал с буквами

и

, то

из цитаты не будет И.О. группы.
Но это так, для
месье знающих толк в извращениях теории.
Если же на пальцах, мне видится, что можно использовать логику куда проще.
1) Все симметрии по Лоренцовским индексам могут привести только к законам сохранения энергии, импульса и момента. Поэтому для получения зарядов они нам не интересны.
2) Все калибровочные преобразования полей должны быть Лиевыми группами. То есть преобразования должны нумероваться действительными числами.
3) Преобразования должны сохранять Лагранжианы вид

. Как следствие, преобразование должны сохранять квадрат модуля поля:

4) Если поле действительное, то там есть одно преобразование. сохраняющее квадрат модуля -- смена знака. Что нас не устраивает. Поэтому поле должно быть минимум комплексным.