Комплексное скалярное поле и сохраняющийся заряд

[Ascold]

У Райдера для вариации скалярных полей $\varphi_i$ введено обозначение $\Delta\varphi_i=\Phi_i_j\delta\omega_j$, где $\omega_j$ - инфинитезимальный параметр преобразования. На стр.113 написано следующее(цитату сократил):
"Обратимся к электрическому заряду, который, как известно, тоже сохраняется...
Симметрии, следующие из преобразований Лоренца, сдвигов по времени и чисто пространственных преобразований мы уже рассмотрели. Любая дополнительная симметрия д.б. связана с $\Phi_i$. Иными словами, скалярное поле должно иметь более чем одну компоненту."
Не пойму, почему из симметрии, связанной с коэффициентами $\Phi_i$ следует многокомпонентность скалярного поля $\varphi_i$, так что прошу "помощи зала".

[EvilPhysicist]

Ascold, что-то я из ваших записей не понял что такое $\Phi_{ij}$. И куда у них потом пропал один индекс.

В любом случае, если у вас есть комплексное поле $\phi= \chi + i \psi$, то действие долно быть инвариантно по группе умножения на комплексное число, равное по модулю единице. То бишъ $\phi \rightarrow \phi e^{i \varphi}$. По этой группе и считается заряд комплексного скалярного поля. Если эти же преобразования записать для действительной и мнимой частей скалярного поля вы получите соотношения про которые, как я понял, и идет речь.

[Ascold]

Цитата:

Ascold, что-то я из ваших записей не понял что такое $\Phi_{ij}$. И куда у них потом пропал один индекс.

Пардон, индекс просто потерял - это опечатка, он по идее никуда не пропал. Что касается $\Phi_{ij}$ - то в книге сказано, что это просто "коэффициенты, отвечающие преобразованию". Если я не ошибаюсь, это что-то типа генераторов преобразования.

Цитата:

Если эти же преобразования записать для действительной и мнимой частей скалярного поля вы получите соотношения про которые, как я понял, и идет речь.

Это понятно, вопрос не в этом, а наоборот: как из рассуждения о том, что т.к. все лоренцевские и т.п. симметрии рассмотрены выше, следовательно, симметрии должны проявляться в не пространственно-временных коэффициентах $\Phi_{ij}$ при б.м. параметрах преобразования, вытекает необходимость более чем одной скалярной функции?

[EvilPhysicist]

Ascold в сообщении #888238 писал(а):

Это понятно, вопрос не в этом, а наоборот: как из рассуждения о том, что т.к. все лоренцевские и т.п. симметрии рассмотрены выше, следовательно, симметрии должны проявляться в не пространственно-временных коэффициентах $\Phi_{ij}$ при б.м. параметрах преобразования, вытекает необходимость более чем одной скалярной функции?

Ну, во-первых обозначения $\Delta \varphi_i = \Phi_{ij} \delta \omega_j$ мне не понятны.
Если уж $\varphi_i$ -- одно из скалярных полей, а $h(\varphi_i,s)$ обозначим действие группы над этим полем, то инфинитезимальный оператор( И.О.) будет $\lim\limits_{s \to 0} h(\varphi_i, s)$. Так как $h(\varphi_i,0)=\varphi_i$, то $ h(\varphi_i ,s) = I_{ij} \varphi_j s + o(s^2)$ и $I_{ij}$ как раз и будут И.О. данной группы.
Так вот, если следовать данной логике и смотреть на выражение

Ascold в сообщении #888200 писал(а):

$\Delta\varphi_i=\Phi_i_j\delta\omega_j$, где $\omega_j$ - инфинитезимальный параметр преобразования

как на то, что я написал с буквами $h$ и $s$, то $\Phi_{ij}$ из цитаты не будет И.О. группы.
Но это так, для месье знающих толк в извращениях теории.

Если же на пальцах, мне видится, что можно использовать логику куда проще.
1) Все симметрии по Лоренцовским индексам могут привести только к законам сохранения энергии, импульса и момента. Поэтому для получения зарядов они нам не интересны.
2) Все калибровочные преобразования полей должны быть Лиевыми группами. То есть преобразования должны нумероваться действительными числами.
3) Преобразования должны сохранять Лагранжианы вид $ (\partial \varphi)^2+m^2 \varphi^2$. Как следствие, преобразование должны сохранять квадрат модуля поля: $\lvert \varphi \rvert^2 = \operatorname{inv}$
4) Если поле действительное, то там есть одно преобразование. сохраняющее квадрат модуля -- смена знака. Что нас не устраивает. Поэтому поле должно быть минимум комплексным.

[Munin]

EvilPhysicist в сообщении #888251 писал(а):

3) Преобразования должны сохранять Лагранжианы вид $ (\partial \varphi)^2+m^2 \varphi^2$. Как следствие, преобразование должны сохранять квадрат модуля поля: $\lvert \varphi \rvert^2 = \operatorname{inv}$

Смотрю я на это, и в голову лезет бредовая идея $\begin{pmatrix}\partial\phi\\m\phi\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\cos&-\sin\\\sin&\hphantom{-}\cos\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\partial\phi\\m\phi\end{pmatrix}$...

[warlock66613]

Munin в сообщении #888256 писал(а):

Смотрю я на это, и в голову лезет бредовая идея $\begin{pmatrix}\partial\phi\\m\phi\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}\cos&-\sin\\\sin&\hphantom{-}\cos\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\partial\phi\\m\phi\end{pmatrix}$

(смайлик, хлопающий в ладоши)(смайлик, хлопающий в ладоши)А она точно бредовая?

[Munin]

Ну ваапче-то $\phi$ и $\partial\phi$ не независимы...