Задача о четырехугольнике

[venco]

Я не разбираюсь в Матлабе, поэтому не подскажете, он численно всё решил, или всё-таки получил формулу?
По моим прикидкам простого решения нет, и ГМТ касания пар окружностей, пересечение которых надо найти, вовсе не кривые второго порядка.

[_Ivana]

venco, к своему стыду я еще не освоил символьные вычисления в Матлабе, даже банальное упрощение выражений. Это численное решение. Но и в символьном виде система должна получиться вроде не страшная, скорее всего дробно/рациональная, переводимая в полиномиальную, я правда руками поленился многоэтажные выражения упрощать, поэтому записал все через последовательные численно вычисляемые промежуточные результаты.
ЗЫ может как раз на этом примере и разберусь с символьными вычислениями Матлаба - тогда покажу финальную систему.

UPD зато при имеющемся алгоритме численного решения можно решать задачи и с другой постановкой: например, потребовать, чтобы точка пересечения перпендикуляров к сторонам была не точкой пересечения диагоналей, а, например, средним арифметическим координат вершин четырехугольника:

[Vitalius]

В общем самая естественная система уравнений для 10 неизвестных координат можем получить если используем соответствие между точками из плоскости и комплексными числами. И так, пусть искомых 5 точек $A$, $B$, $C$, $D$ и $K$ (это точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ четырёхугольника $ABCD$) отождествим со следующими 5 комплексных чисел:

$A\equiv x_{A}+iy_{A}$, $B\equiv x_{B}+iy_{B}$, $C\equiv x_{C}+iy_{C}$, $D\equiv x_{D}+iy_{D}$, $K\equiv x_{K}+iy_{K}$, $i^{2}\equiv-1$.

На каждой из заданных точек $P$, $Q$, $R$ и $S$, разумеется тоже сопоставляем комплексное число:

$P\equiv x_{P}+iy_{P}$, $Q\equiv x_{Q}+iy_{Q}$, $R\equiv x_{R}+iy_{R}$, $S\equiv x_{S}+iy_{S}$.

Помним, что координатная система здесь, произвольная и ортонормированная с центром в точки $O$, находящееся в плоскостью заданного четырёхугольника $PQRS$.

Согласно условия ТС, прямая проходит через каждую из следующих 6 тройки точек - $(A,P,B)$, $(B,Q,C)$, $(C,R,D)$, $(D,S,A)$, $(A,K,C)$ и $(B,K,D)$. Кроме того, опять согласно условия ТС, окружность проходит через каждую из следующих 4 четвёрки точек - $(P,B,Q,K)$, $(Q,C,R,K)$, $(R,D,S,K)$ и $(S,A,P,K)$. Это так потому, что углы с вершинами в точках $P$, $Q$, $R$ и $S$ - прямые. В каждом из этих 4 четырёхугольниках такие прямые углы противоположные, и тогда можем использовать известную теорему (Th. 0), согласно которой около выпуклого четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма его противоположных углов равна 180°. Условия теоремы выполняются для четырёхугольников $PBQK$, $QCRK$, $RDSK$ и $SAPK$, и поэтому вокруг каждой из вышеупомянутых четвёрки точек (вершины этих четырёхугольников) описываются окружностей.

Теперь, зная, что согласно условия ТС есть 6 тройки точек и 4 четвёрки точек, через которыми проходят, соответственно прямые и окружностей, можем воспользоваться следующими двумя теоремами о комплексных числах:

Th. 1: Точки, соответствующие комплексными числами $a$, $b$ и $c$, лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда:

$Im\left(\frac{a-b}{a-c}\right)=0$.

Th. 2: Точки, соответствующие комплексным числам $a$, $b$, $c$ и $d$, лежат на одной окружности (или на одной прямой) тогда и только тогда, когда:

$Im\left[\frac{(a-c)(b-d)}{(a-d)(b-c)}\right]=0$.

Применяя первую теорему для наши 6 тройки точек $(A,P,B)$, $(B,Q,C)$, $(C,R,D)$, $(D,S,A)$, $(A,K,C)$ и $(B,K,D)$, а также вторую теорему для 4 четвёрки точек $(P,B,Q,K)$, $(Q,C,R,K)$, $(R,D,S,K)$ и $(S,A,P,K)$, получаем следущую систему из 10 уравнений с 10 неизвестными (координаты $x_{A}$, $y_{A}$, $x_{B}$, $y_{B}$, $x_{C}$, $y_{C}$, $x_{D}$, $y_{D}$, $x_{K}$ и $y_{K}$):

$Im\left(\frac{A-P}{A-B}\right)=0$,

$Im\left(\frac{B-Q}{B-C}\right)=0$,

$Im\left(\frac{C-R}{C-D}\right)=0$,

$Im\left(\frac{D-S}{D-A}\right)=0$,

$Im\left(\frac{A-K}{A-C}\right)=0$,

$Im\left(\frac{B-K}{B-D}\right)=0$,

$Im\left[\frac{(P-Q)(B-K)}{(P-K)(B-Q)}\right]=0$,

$Im\left[\frac{(Q-R)(C-K)}{(Q-K)(C-R)}\right]=0$,

$Im\left[\frac{(R-S)(D-K)}{(R-K)(D-S)}\right]=0$,

$Im\left[\frac{(S-P)(A-K)}{(S-K)(A-P)}\right]=0$.

[mishafromusa]

venco в сообщении #887942 писал(а):

По моим прикидкам простого решения нет, и ГМТ касания пар окружностей, пересечение которых надо найти, вовсе не кривые второго порядка.

Уравнения для ГМТ можно найти на компьютере тоже, и посмотреть что это за кривые.

[Skeptic]

Добавим к четырём заданным концам перпендикуляров произвольную точку их пересечений. По этим пяти точкам построим четырёхугольник. Поведём диагонали. Если точки пресечения перпендикуляров и пересечения диагоналей не совпадут, то примем середину отрезка, соединяющего эти точки пересечения, за новую точку пересечения перпендикуляров, и повторим построение. Автокад показал быструю сходимость точек пересечения.
Для вогнутых четырёхугольников задача имеет несколько решений.

[Vitalius]

Написал скрипт на Mathematica-е, для исследования точных корней задачи TC. Скрипт основывается на системе квадратичных форм, которой предложил. Вот одно рациональное решение с "несиметричными" четырёхугольниками $PQRS$ и $ABCD$:

$(x_{P},y_{P})=(0,0)$; $(x_{Q},y_{Q})=(1,0)$; $(x_{R},y_{R})=(2,2)$; $(x_{S},y_{S})=(-1,1)$;

$(x_{A},y_{A})=(-\frac{16}{15},\frac{8}{15})$; $(x_{B},y_{B})=(\frac{3}{5},-\frac{3}{10})$; $(x_{C},y_{C})=(\frac{13}{5},\frac{6}{5})$; $(x_{D},y_{D})=(-\frac{2}{5},\frac{26}{5})$; $(x_{K},y_{K})=(\frac{2}{5},\frac{4}{5})$.

[mishafromusa]

Vitalius, если у Вас есть под рукой Mathematica, то было бы интересно найти уравнения для ГМТ
точек касакния пар окружностей, о котором говорили venco, g______d и я.

-- 17.07.2014, 20:29 --

Skeptic в сообщении #888083 писал(а):

Автокад показал быструю сходимость точек пересечения.

Ну вот Вы и нашли разумное решение.

[Vitalius]

Mishafromusa, такой конкретно скрипт не писал. Могу написать, но у меня есть и другие задачи - по работе. И они должны быть с приоритетом .

[mishafromusa]

Skeptic, Ваши последовательные приближения легко построить циркулем и линейкой, а сходимость можно ускорить, когда приближения станут достаточно близки к решению.

-- 18.07.2014, 08:00 --

Vitalius в сообщении #888423 писал(а):

Mishafromusa, такой конкретно скрипт не писал. Могу написать, но у меня есть и другие задачи - по работе. И они должны быть с приоритетом .

Понятно, не надо, если не особенно интересно.

[Skeptic]

Построения циркулем и линейкой можно выразить символьно. Получив алгоритм геометрического построения на Автокаде, я реализовал его в символьном виде на Маткаде. Избежать итераций можно, зная выражения для координат точек пересечения перпендикуляров и диагоналей, и приравняв их, получить уравнение для общей точки пересечений.

[mishafromusa]

Понятно, что можно, просто dvb, который задал вопрос, интересовался циркулем и линейкой.

[Vitalius]

Уравнение окружности, проходящей через точки $P(x_{P},y_{P})$, $Q(x_{Q},y_{Q})$ и $K(x_{K},y_{K})$, которые согласно условия ТС не лежат на одной прямой, задается так:

$\left| \begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|=0$

Аналогично, уравнение окружности, проходящей через точки $R(x_{R},y_{R})$, $S(x_{S},y_{S})$ и $K(x_{K},y_{K})$, которые тоже согласно условия ТС не лежат на одной прямой, будет:

$\left| \begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|=0$

Требуется определить координат общего тангенциального вектора этих двух окружностей в точке их касания $K(x_{K},y_{K})$.

[mishafromusa]

Vitalius в сообщении #888477 писал(а):

Требуется определить координаты общего тангенциального вектора этих двух окружностей в точке их касания $K(x_{K},y_{K})$.

Проще нормального, чем тангенциального. Условие касания состоит в том, что дифференциал первого определителя в точке $K$ пропорционален дифференциалу второго определителя в той же точке (оба определителя рассматривaются, как функции от $x$ и $y$). Громоздко получается, но понятно как делать, спасибо за подсказку. Похоже, что получится уравнение 4-й степени для координат точки касания.

[Vitalius]

Пусть:

$F_{UVW}(x,y)\equiv\left| \begin{array}{cccc} x^2+y^2 & x & y & 1 \\ x_{U}^{2}+y_{U}^{2} & x_{U} & y_{U} & 1 \\ x_{V}^{2}+y_{V}^{2} & x_{V} & y_{V} & 1 \\ x_{W}^{2}+y_{W}^{2} & x_{W} & y_{W} & 1 \\ \end{array} \right|$

Тогда уравнения двух окружностей из предыдущего поста, проходящие соответственно через точки $P(x_{P},y_{P})$, $Q(x_{Q},y_{Q})$, $K(x_{K},y_{K})$, и $R(x_{R},y_{R})$, $S(x_{S},y_{S})$, $K(x_{K},y_{K})$, будут:

$F_{KPQ}(x,y)=0$,

$F_{KRS}(x,y)=0$.

Если в точки $U\equiv(x_{U},y_{U})$ , $\frac{\partial F_{UVW}}{\partial y}\neq 0$, то производную $\frac{dy}{dx}$ в этой точки можем определить при помощи теоремы о дифференцирования неявно заданных функций. Согласно нее:

$\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{\partial F_{UVW}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial F_{UVW}}{\partial y}\right)^{-1}=-\left| \begin{array}{cccc} 2x & 1 & 0 & 0 \\ x_{U}^{2}+y_{U}^{2} & x_{U} & y_{U} & 1 \\ x_{V}^{2}+y_{V}^{2} & x_{V} & y_{V} & 1 \\ x_{W}^{2}+y_{W}^{2} & x_{W} & y_{W} & 1 \\ \end{array} \right|\left| \begin{array}{cccc} 2y & 0 & 1 & 0 \\ x_{U}^{2}+y_{U}^{2} & x_{U} & y_{U} & 1 \\ x_{V}^{2}+y_{V}^{2} & x_{V} & y_{V} & 1 \\ x_{W}^{2}+y_{W}^{2} & x_{W} & y_{W} & 1 \\ \end{array} \right|^{-1}$.

Теперь, если я правильно понял то, о чём говорили Venco, G______d и Mishafromusa, то координаты $x_{K}$ и $y_{K}$ точки пересечения $K$ диагоналей $AC$ и $BQ$ искомого четырёхугольника $ABCD$, можем найти решая следующую систему уравнений:

$\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|=0$,

$\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|=0$.

Конечно все решения $(x_{K},y_{K})$ этой системы надо проверять удовлетворяют ли условия:

$\left| \begin{array}{cccc} 2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|\neq 0$,

$\left| \begin{array}{cccc} 2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|\neq 0$.

Если все решения этой системы не удовлетворяют вышеописанные условия, то будем считать, что обе окружности неявно заданы как функции $x(y)$ в окрестности точки $K(x_{K},y_{K})$. И тогда надо решать относительно $(x_{K},y_{K})$:

$\left| \begin{array}{cccc} 2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|=0$,

$\left| \begin{array}{cccc} 2y_{K} & 0 & 1 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|=0$.

Условия, которые должны удовлетворять решения системы, теперь будут:

$\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{P}^{2}+y_{P}^{2} & x_{P} & y_{P} & 1 \\ x_{Q}^{2}+y_{Q}^{2} & x_{Q} & y_{Q} & 1 \\ \end{array} \right|\neq 0$,

$\left| \begin{array}{cccc} 2x_{K} & 1 & 0 & 0 \\ x_{K}^{2}+y_{K}^{2} & x_{K} & y_{K} & 1 \\ x_{R}^{2}+y_{R}^{2} & x_{R} & y_{R} & 1 \\ x_{S}^{2}+y_{S}^{2} & x_{S} & y_{S} & 1 \\ \end{array} \right|\neq 0$.

Возможны и случаи когда в окрестности точки $K(x_{K},y_{K})$ одну окружность надо рассматривать как функцию $y(x)$, а другую как функцию $x(y)$. Тогда надо решать "смешанные" системы и проверять удовлетворяют ли их решения "смешанные" условия. Если точки $P(x_{P},y_{P})$, $Q(x_{Q},y_{Q})$, $R(x_{R},y_{R})$ и $S(x_{S},y_{S})$ настолько "специальные", что все типы условия, которые должны удовлетворять решения $(x_{K},y_{K})$, не удовлетворяются, то надо либо сдвинуть начало $O(0,0)$ координатной системы, либо рассматривать производные $\frac{dy}{dx}=-\left(\frac{\partial F_{UVW}}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial F_{UVW}}{\partial y}\right)^{-1}$ как пределы.

В общем, если правильно понял предложения Venco, G______d и Mishafromusa, то путь к определении точку $K$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ искомого четырёхугольника $ABCD$, должен быть какой-то такой. Да?

[mishafromusa]

Vitalius в сообщении #888645 писал(а):

Если в точки $U\equiv(x_{U},y_{U})$ , $\frac{\partial F_{UVW}}{\partial y}\neq 0$, то производную $\frac{dy}{dx}$ в этой точки можем определить при помощи теоремы о дифференцирования неявно заданных функций.

С этого места Вы начинаете путаться. Всё гораздо проще. Наши 2 окружности с уравнениями $F_{KPQ}(x,y)=0$ и $F_{KRS}(x,y)=0$ будут касаться в точке $K$ тогда и только тогда, когда полные дифференциалы левых частей этих уравнений в точке $K$ пропорциональны, т.к. эти дифференциалы перпендикулярны к соответствующим окружностям в точке их пересечения $K$. Поэтому условие касания в точке $K$ следующее:
$(\partial F_{KPQ}/\partial x)(\partial F_{KRS}/\partial y)- (\partial F_{KPQ}/\partial y)(\partial F_{KRS}/\partial x) =0$ при $x=x_K$ и $y=y_K$.
Это условие определяет ГМТ касания окружностей, одна из которых проходит через $P$ и $Q$, а другая -- через $R$ и $S$. Аналогично пишется уравнение, которое определяет ГМТ касания двух окружностей, одна из которых проходит через $P$ и $R$, а другая -- через $Q$ и $S$. Точка пересечения этих двух ГМТ и будет нашей искомой точкой пересечения диагоналей.

-- 19.07.2014, 01:54 --

Vitalius в сообщении #888645 писал(а):

Теперь, если я правильно понял то, о чём говорили Venco, G______d и Mishafromusa, то координаты $x_{K}$ и $y_{K}$ точки пересечения $K$ диагоналей $AC$ и $BQ$ искомого четырёхугольника $ABCD$, можем найти решая следующую систему уравнений:

Неверно, эта система уравнений определяет точки $K$, в которых касательные к обеим окружностям горизонтальны.