оператор инерции

[Oleg Zubelevich]

Дело происходит в пространстве $\mathbb{R}^3$ со стандартным скалярным произведением.

Заданы $N$ точек с радиус-векторами $r_1,\ldots, r_N$. Оператором инерции данной системы точек называется оператор

$$Jx=\sum_{k=1}^N[r_k,[x,r_k]].$$

Квадратными скобками обозначено векторное произведение.
Оператор $J$ симметричен, неотрицательно определен и , если не все точки лежат на одной прямой ,невырожден.

Предположим, что $N=4$. Существуют ли такие три точки, что их оператор инерции совпадает с $J$?

[Oleg Zubelevich]

вопрос снимается, тему можно закрывать

[Munin]

$[r_k,[x,r_k]]=x(r_k^2)-r_k(x,r_k),$ где круглыми скобками обозначено скалярное произведение. Таким образом, $J_{ab}=\sum\limits_k(r_k^2\delta_{ab}-(r_k)_a(r_k)_b)$ в индексных тензорных обозначениях, и вопрос сводится к арифметике симм. тензоров 2 ранга. Приведя систему координат к главным осям, видим, что три точки могут задать любой тензор с неотрицательными главными значениями. И любые $N\geqslant 4$ точек зададут тоже такой же тензор с неотрицательными главными значениями. Так что, трёх точек достаточно.

По сравнению с задачей «твердое тело» (Олимпиадные задачи (Ф)), четвёртая точка нужна только для того, чтобы задать положение центра инерции. Если взять только три точки, то центр инерции сядет в плоскость этих трёх точек, и оператор инерции относительно центра инерции окажется не столь произвольным - например, его главное значение в направлении, перпердикулярном плоскости трёх точек, будет максимальным. Кажется, ещё и алгебраически зависимым от остальных главных значений (не уверен).

[Oleg Zubelevich]

Вот именно, поэтому я и снял задачу. Должно быть дополнительное требование: центр масс трех точек лежит в начале координат, иначе просто смысла нет.

[Munin]

Ну а если он не лежит в начале координат, то должна быть четвёртая точка, его туда смещающая :-)

[Oleg Zubelevich]

а может и не должна:)

[Munin]

Munin в сообщении #888000 писал(а):

Кажется, ещё и алгебраически зависимым от остальных главных значений (не уверен).

А, ну точно. Оно просто сумма двух других главных значений (= след двумерной матрицы в плоскости точек).

Тогда у меня получается, что существует 4-мерное пространство преобразований параметров трёх точек, не меняющих тензора инерции. Проверьте, это правильно?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #888057 писал(а):

Оно просто сумма двух других главных значений (= след двумерной матрицы в плоскости точек).

да. ну и нам остается взять твердое тело, для которого это не верно, тогда его тензор инерции через тензор инерции трех точек выражаться не будет. выходит, что 4 точки это минимум.

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #888030 писал(а):

а может и не должна:)

Пропустил "не" в своём сообщении.