Дифф. уравнение в картинках

[Андрей123]

Алексей К. писал(а):

Собственно, дифф. уравнение описывает простую жизненную ситуацию, вполне наглядную.
Любая домохозяйка скажет, что решения не выходят за пределы $[-90^\circ,90^\circ]$.

На картинке --- серая тропа, по которой идёт полицейский. Угол $\theta$ --- его направление движения.
На синей верёвке длины $N$ он тащит мешок с трупом, оставляющим красный след.
Труп раньше был крутым мафиози, поэтому к нему можно без сожаления относиться как к тяжёлой материальной точке.
Угол $\tau$ соответствует траектории трупа.
Угол $\nu=\theta-\tau$ и есть предмет изучаемого дифф. уравнения:

$$ \tau^\prime_s=\frac{\sin\left[\theta(s)-\tau(s)\right]}{N},$$

где $s$ --- длина дуги тропы.

А каким образом Вы получили такое ДУ?

[Алексей К.]

Если траектория полицейского (известная) $w(s)=u(s)+{\mathrm i}v(s)$, то $w(s)=z(s)+N\exp{{\mathrm i}\tau(s)}$, где $z(s)$ --- траектория трупа.
Подифференцировал, учёл, что $w'(s)=\exp{{\mathrm i}\theta(s)}$, $z'(s)=f(s)\exp{{\mathrm i}\tau(s)}$, исключил $f(s)\equiv |z'(s)|$... Наверняка диффур выполз бы из теоремы синусов для треугольника, образованного при небольшом смещении ведущей точки.
Пишу сумбурно наспех (на работе), ежели плохо ответил, вечером исправлюсь.

Добавлено спустя 1 час 11 минут 28 секунд:

Собственно, если ведущая точка движется по прямой, то ведомая точка описывает трактрису [прямой] --- известную кривую.

[Андрей123]

Алексей К. писал(а):

$w'(s)=\exp{{\mathrm i}\theta(s)}$, $z'(s)=f(s)\exp{{\mathrm i}\tau(s)}$

Это не совсем понятно. Если не сложно, напишите вывод уравнения. Просто по-моему из механических соображений оно будет другое.

[Алексей К.]

Да, $s$ --- длина дуги и натуральный параметр для траектории ведущей точки,
поэтому $|w'_s|=1$ и $u'_s=\cos\theta(s)$, $v'_s=\sin\theta(s)$.
Для ведомой же (трактрисы) это просто некий параметр. Но направление касательной всё равно определяется производными $x'_s=|z'_s|\cos\tau(s)$, $y'_s=|z'_s|\sin\tau(s)$.

Проще из треугольника. Пусть $T_1P_1$ --- положение Трупа и Pолицеского в некоторый момент. $|T_1P_1|=N$ --- верёвка. Продлим вектор $T_1P_1$ до $T_1P_1A$, чтобы в точке $A$ нарисовать стрелочку: это направление $\tau$. Теперь точка $T_1$ cместилась на $dl$ в направлении $\tau$ и заняла положение $T_2\in T_1T_2P_1$. Полицейский сместился на $ds$ в направлении $\theta$ и занял положение $P_2$. Угол $AP_1P_2$ --- острый, равен $\tau-\theta$. В треугольнике $T_2P_1P_2$ угол $\angle T_2={\mathrm d}\tau$, $\angle P_1=\pi-(\tau-\theta)$. Все углы известны, стороны тоже: $T_2P_1=N-ds$, $P_1P_2=dl$, $P_2PT_2=N$.
Теорема синусов даcт 2 уравнения, $dl$ исключится...
Извините --- чего-то я плохо сегодня объясняю, даже картинку с тр-ком не смог нарисовать...

Добавлю после выходных нормальный текст.

[Андрей123]

Алексей К. писал(а):

Теперь точка $T_1$ cместилась на $dl$ в направлении $\tau$

Здесь Вы неправы, в данный момент времени это направление силы, действующей на точку, а следовательно, направление ускорения точки, а не скорости.

Алексей К. писал(а):

Извините --- чего-то я плохо сегодня объясняю, даже картинку с тр-ком не смог нарисовать...

В остальном всё понятно, но, с учётом вышеприведённого замечания, уравнение получается не верным.
P.S. После выходных ответить не смогу, т.к. на неделю уеду.

[Алексей К.]

Андрей123 писал(а):

Здесь Вы неправы, в данный момент времени это направление силы, действующей на точку, а следовательно, направление ускорения точки, а не скорости...
... уравнение получается не верным.

Здесь я, похоже, прав, и уравнение верное (ну, может ещё проверю на опечатки, но я с ним слишком много картинок нарисовал, что придаёт уверенности).

Мне достаточно геометрической модели (3) (см. ниже). Наверное, при желании можно доказать, что направление скорости совпадает с направлением ускорения-силы, но я об этом не думал. А то бы к физикам запостил, в отместку за то, что они... Если где-то обозначения не совпадают с предыдущими (да! $l$ и $s$ поменялись...), то ниже они самодостаточны.
На всякий случай поясняю и подчёркиваю, что заменять производные от координат синусами-косинусами мне позволяет использование натуральной параметризации обеих кривых.

Пусть $u(l),v(l)$ --- текущее положение ведущей точки $A$ на данной кривой,
$\theta(l)$ направление её движения,
$l$ --- её натуральный параметр.
Натуральную параметризацию искомой трактрисы, траектории ведомой точки $B$, обозначим $x(s),\,y(s)$; $\tau(l(s))$ --- направление её касательной, совпадающее с вектором $\stackrel{\to}{{BA}}$.

Тогда при длине нити $N$

$$ \left\{\! \begin{array}{l} N\cos\tau(l)=u(l)-x(s),\\ N\sin\tau(l)=v(l)-y(s). \end{array} \qquad\qquad \eqno(3) $$

Дифференцируем по $l$:

$$ \begin{array}{ll} -N\sin\tau\dfrac{d\tau}{d l}=\dfrac{du}{dl}-\dfrac{dx}{dl}= \dfrac{du}{dl}-\dfrac{dx}{ds}\dfrac{ds}{dl}= \!\!&\cos\theta(l)-\cos\tau(l)\dfrac{ds}{dl},\\[1.5ex] \hphantom{-}N\cos\tau\dfrac{d\tau}{dl}= &\,\sin\theta(l)-\sin\tau(l)\dfrac{ds}{dl}, \end{array} $$

откуда, решая линейную систему, получаем

$$ \dfrac{d\tau}{dl}=\frac{1}{N}\sin(\theta{-}\tau),\qquad \dfrac{ds}{dl}=\cos(\theta{-}\tau). $$

Добавлено спустя 1 час 5 минут 26 секунд:

Молчаливое предположение, что касательная к траектории совпадает с направлением нити --- это вызывает возражения? Я, признаться, даже не задумывался о его обосновании...

[Андрей123]

Алексей К. писал(а):

Молчаливое предположение, что касательная к траектории совпадает с направлением нити --- это вызывает возражения? Я, признаться, даже не задумывался о его обосновании...

Да. Направление касательной - это направление скорости точки на кривой, а не ускорения.

[Yu_K]

Получается - если точка движется по окружности радиуса R со скорость V и к ней на веревке длины L привязана некоторая материальная точечная масса М - то предельная траектория будет окружность определенного радиса, который зависит от скорости V. Если скорость очень большая, то предельная траектория будет окружность радиуса R+L. И возникает вопрос инерционные эфффекты как правильно учесть в модели, если траектория более сложная, чем окружность?

[zoo]

Алексей К. в сообщении #84263 писал(а):

Хотелось бы убедиться/доказать, что
a) существует периодическое решение (период совпадает с $L$);
б) что остальные к нему сходятся;
в) выяснить условия на функцию $F(x)$ и константу $N$, при которых решения так себя ведут (видимо это $N|F(x)|<1$; уменьшением $N$ по отношению к $L$ можно добиться такого поведения).

да ,действительно несложно показать, что при условии $N|F(x)|<1$ ($N$ тоже неотрицательна) будут существовать $L-$периодические решения. В этой системе имееттся атрактор $|y|\le \pi/2-\varepsilon$ с достаточно малым положительным $\varepsilon$ Этот атрактор определен $\pmod {2\pi}$. поэтому если расматривать плоскость $x,y$, то таких атракторов и периодических решений бдет много, остальные решения будт захватываться этими атракторами (при численном моделировании будет казаться, что решения приближаются к периодич. режиму), вообще говоря, разные решения разными атракторами Сходу сказать что либо об устойчивости этих период. решений не могу

[Алексей К.]

(Лично я давно во всём разобрался, тему не оживлял).
Имеется однопараметрическое семейство периодич. решений с параметром $N$ (длина нити).

Алексей К. в сообщении #87487 писал(а):

О существовании периодического решения.

[zoo]

Алексей К. писал(а):

(Лично я давно во всём разобрался, тему не оживлял).
Имеется однопараметрическое семейство периодич. решений с параметром $N$ (длина нити).

Алексей К. в сообщении #87487 писал(а):

О существовании периодического решения.

ну если то, что там написано называется "разобрался", то флаг, как говорится, в руки