Андрей123 писал(а):
Здесь Вы неправы, в данный момент времени это направление силы, действующей на точку, а следовательно, направление ускорения точки, а не скорости...
... уравнение получается не верным.
Здесь я, похоже, прав, и уравнение верное (ну, может ещё проверю на опечатки, но я с ним слишком много картинок нарисовал, что придаёт уверенности).
Мне достаточно геометрической модели (3) (см. ниже). Наверное, при желании можно доказать, что направление скорости совпадает с направлением ускорения-силы, но я об этом не думал. А то бы к физикам запостил, в отместку за то, что они... Если где-то обозначения не совпадают с предыдущими
(да!
и
поменялись...), то ниже они самодостаточны.
На всякий случай поясняю и подчёркиваю, что заменять производные от координат синусами-косинусами мне позволяет использование натуральной параметризации обеих кривых.
Пусть

--- текущее положение ведущей точки

на данной кривой,

направление её движения,

--- её натуральный параметр.
Натуральную параметризацию искомой трактрисы, траектории ведомой точки

, обозначим

;

--- направление её касательной, совпадающее с вектором

.
Тогда при длине нити


Дифференцируем по

:
![$$
\begin{array}{ll}
-N\sin\tau\dfrac{d\tau}{d l}=\dfrac{du}{dl}-\dfrac{dx}{dl}=
\dfrac{du}{dl}-\dfrac{dx}{ds}\dfrac{ds}{dl}=
\!\!&\cos\theta(l)-\cos\tau(l)\dfrac{ds}{dl},\\[1.5ex]
\hphantom{-}N\cos\tau\dfrac{d\tau}{dl}=
&\,\sin\theta(l)-\sin\tau(l)\dfrac{ds}{dl},
\end{array}
$$ $$
\begin{array}{ll}
-N\sin\tau\dfrac{d\tau}{d l}=\dfrac{du}{dl}-\dfrac{dx}{dl}=
\dfrac{du}{dl}-\dfrac{dx}{ds}\dfrac{ds}{dl}=
\!\!&\cos\theta(l)-\cos\tau(l)\dfrac{ds}{dl},\\[1.5ex]
\hphantom{-}N\cos\tau\dfrac{d\tau}{dl}=
&\,\sin\theta(l)-\sin\tau(l)\dfrac{ds}{dl},
\end{array}
$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/4/a/84a8fe700fcfd479b39f605d5330044982.png)
откуда, решая линейную систему, получаем
Добавлено спустя 1 час 5 минут 26 секунд:Молчаливое предположение, что касательная к траектории совпадает с направлением нити --- это вызывает возражения? Я, признаться, даже не задумывался о его обосновании...