ВТФ - поиск доказательства для $n=5$ - тема 3

[Феликс Шмидель]

Исправим ошибку: в (14) оба сомножителя могут быть минус квадратами или после деления на $11$ они могут быть минус квадратами.

То есть:

(14) Оба сомножителя $s-16 t$ и $s^2-8 s t-304 t^2$ являются квадратами целых чисел, умноженными на $1$, $-1$, $11$ или $-11$, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

[Феликс Шмидель]

Заметим, что полиномы в равенствах (7), (8) и (9) неприводимы, в отличие от полиномов в равенствах (11) и (12), полученных в результате преобразования полинома в (8).
Неприводимость полиномов легко устанавливается в программе "gp/pari", используя комманду "factor(f)" или функцию "polisirreducible(f)".
Нет никакой необходимости искать рациональные корни полинома вручную, поскольку комманда "factor(f)" находит их.
В частности, полином 4-ой степени в равенстве (11) имеет два целых корня: $b=-2$ и $b=6$, что даёт нам ещё два линейных множителя, которые являются квадратами, возможно умноженными на некоторые числа.
Имеет смысл сократить числа $a_2$, $a_3$ и $a_4$ в равенстве (5) на их наибольший общий делитель.
Все последующие преобразования и результаты от этого не изменятся.
Но если считать числа $a_2$, $a_3$ и $a_4$ взаимно-простыми (не попарно), то из (5) следует:

(15)
Пусть простое число $p$, отличное от $2$ и $5$, является делителем числа $a_3$, и $p^{k_3}$ является наибольшей степенью простого числа $p$, на которую делится $a_3$.
Тогда число $k_3$ делится на $3$, и $p^{k_3/3}$ является наибольшой степенью простого числа $p$, на которую делится либо $a_2$, либо $a_4$, а другое число из этих двух не делится на $p$.

В самом деле, из (5) следует, что $10 (a_2 a_4)^3$ делится на $a_3$, следовательно одно из чисел $a_2^3$ и $a_4^3$ делится на $p^{k_3}$, поскольку только одно из них делится на $p$, вследствие взаимной простоты чисел $a_2$, $a_3$ и $a_4$.
Если, например, число $a_2^3$ делится на $p^{k_3}$, то на бОльшую степень $p$ оно не делится,
иначе левая часть равенства (5) делилась бы на $p^{k_3+1}$, а правая часть - нет, поскольку $a_2^5+4 a_4^5$ не делится на $p$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Найдём $b_2$ из (12) в программе "Reduce".

u:=a2*a4/a3^2;
B:=(a2^5-4*a4^5)/(2*a3^5*(u-1));
b1:=B-(5*u^2-2*u/5);
b2:=-10*b1;

d1:=a2*a4-a3^2;
c1:=a2^5-4*a4^5;
(-5*a3*c1+2*a2*a4*d1*(25*a2*a4-2*a3^2))/(a3^4*d1);

Результаты для $b_2$ и для последнего выражения совпадают.
Значит:

(16) $b_2=(-5 a_3 c_1 + 2 a_2 a_4 d_1 (25 a_2 a_4-2 a_3^2))/(a_3^4 d_1)$,

где $c_1=a_2^5-4 a_4^5$, $d_1=a_2 a_4-a_3^2$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

У меня есть пара вопросов, может быть кто-нибудь знает.
Математическая программа "SAGE" определила минимальную модель для эллиптической кривой (12): $y^2 = x^3 + x^2 - 28 x + 48$. Это уравнение проще, чем первоначальное уравнение $y^2 = x^3 - 8 x^2 - 432 x + 4864$, поэтому я бы лучше работал с минимальной моделью.
Но что такое эта минимальная модель и какая связь между двумя уравнениями?
Второй вопрос, что значит точка [(-4 : 80 : 1)], которую "SAGE" считает генератором бесконечной циклической подгруппы точек кривой (12)? Эта программа вообще обозначает точки тремя числами, а что это значит не объясняет ни в одном документе.

[Феликс Шмидель]

Заметим, что точка $(x=-4, y=80)$ действительно находится на эллиптической кривой (12).
Третья координата точки может быть $1$ для обычной точки и $0$ для бесконечной точки.
Это мой ответ на второй вопрос.

Теперь попытаемся ответить на первый вопрос.

Приведём уравнение (12) и его "минимальную модель" к полиномам без $x^2$ в программе "Reduce":

(x+8/3)^3-8*(x+8/3)^2-432*(x+8/3)+4864;
(x-1/3)^3+(x-1/3)^2-28*(x-1/3)+48

Получим полиномы:

$x^3-(12240/27) x+(99200/27)$ и
$x^3-(765/27) x+(1550/27)$

Если разделить коэффициенты при $x$ один на другой и взять квадратный корень из частного, получим $(12240/765)^{1/2}=4$.

Если разделить cвободные коэффициенты один на другой и взять кубический корень из частного, получим $(99200/1550)^{1/3}=4$.

А я только что прочёл в одном учебнике, что такое совпадение является необходимым и достаточным условием бирациональной изоморфности двух эллиптических кривых.

Вернее надо было брать корни четвёртой и шестой степени.
Это понятно: замена $x$ на $x/c^2$ даёт соответствие рациональных точек на одной кривой точкам на другой.
Не знаю насчёт бирациональной изоморфности, но нам это ненужно.

[Феликс Шмидель]

Покажем эллиптическую кривую (12), используя комманду E.plot() в программе "Sage":



Я поместил картинку на сайт radikal.ru, так что она может исчезнуть.

-- Чт июл 10, 2014 00:20:47 --

Я решил проверить (14) используя точку $-4$ ($s=-4, t=1$) и сразу обнаружил ошибку.
Вместо $b_2^2-8 b_2-304$ должно быть $b_2^2+8 b_2-304$.
Исправим это сообщение:

Найдём квадратный полином, получающийся от деления $b_2^3-8 b_2^2-432 b_2+4864$ на $b_2-16$ в программе "Reduce":

(b2^3-8*b2^2-432*b2+4864)/(b2-16)

Получим: $b_2^2+8 b_2-304$.

Корнями этого полинома являются числа: $-4+8 \sqrt{5}$ и $-4-8 \sqrt{5}$.

Поскольку $b_2$ является рациональнам числом, то $b_2=s/t$, где $s$ и $t$ - целые, $t>0$.
взаимно-простые числа.

Рациональное число $(b_2-16)(b_2^2+8 b_2-304)$ является квадратом рационального числа.
Значит $(s-16 t) (s^2+8 s t-304 t^2)/t^3$ является квадратом рационального числа.
Поскольку знаменатель $t^3$ взаимно-прост с числителем и $t>0$, то $t$ является квадратом целого числа, и:

(13) $(s-16 t) (s^2+8 s t-304 t^2)$ является квадратом целого числа, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

Если сомножители $s-16 t$ и $s^2+8 s t-304 t^2$ имеют наибольший общий делитель $h$, то $16^2+8 \cdot 16-304=80$ делится на $h$.

Число $s$ не может делиться на $2$ и не делиться на $4$, или делиться на $8$ и не делиться на $16$, в силу (13).
Следовательно $h$ является одним из чисел: $1, 4, 16, 5, 20, 80$, поскольку $80$ делится на $h$.

Значит:

(14) Оба сомножителя $s-16 t$ и $s^2+8 s t-304 t^2$ являются квадратами целых чисел, умноженными на $1$, $-1$, $5$ или $-5$, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - взаимно-простые целые числа, $t>0$ и $t$ - является квадратом целого числа.

[Феликс Шмидель]

Утверждение (15), возможно, позволит нам найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя в выражении (16) для $b_2$.
Утверждение (14) даёт нам выражения, являющиеся квадратами, умноженными на $1, -1, 5$ или $-5$.
Можно попробовать найти $a_3, a_4$ и $a_5$, удовлетворяющие этим условиям по модулю некоторого небольшого простого числа. Можно вычислить и другие точки на эллиптической кривой, и они тоже должны удовлетворять утверждению (14). Таких $a_3, a_4$ и $a_5$, которые удовлетворяют утверждению (14) для одной или нескольких точек может не существовать, что вело бы к противоречию.
Для реализации этой идеи нужно найти выражение для наибольшего общего делителя числителя и знаменателя хотя бы в (16) для $b_2$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Нахождение наибольшего общего делителя числителя и знаменателя в выражении (16) сложно, и я думаю можно обойтись без этого.

Из (14) следует:

(17) Выражения $t (s-16 t)$ и $t (s^2+8 s t-304 t^2)$ являются квадратами целых чисел, умноженными на $1$, $-1$, $5$ или $-5$, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - целые числа, необязательно взаимно-простые.


Возьмём какое-либо простое число, например $41$ и найдём какие остатки от деления на это простое число должны давать числа $a_2, a_3$ и $a_4$, чтобы утверждение (17) удовлетворялось по модулю этого простого числа.


Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Я написал программу и получил $24081$ подходящих вариантов из общего колличества $41^3=68921$,
если не ошибся.
Наша задача получить из $(b_2, A_2)$ другую точку, которая была бы на эллиптической кривой (12) только если на ней $(b_2, A_2)$.
Подумаем, как это сделать.

Подолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Первым делом отсеим варианты, которые не удовлятворяют равенству (5) по модулю $41$.
После этого осталось $681$ подходящих вариантов, если я не ошибся.

Кстати, если проверять только равенство (5) по модулю $41$, то будет $1681$ подходящих вариантов, если я не ошибся.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим ошибку в (17).

Из (14) следует:

(17) Выражения $t (s-16 t)$ и $s^2+8 s t-304 t^2$ являются квадратами целых чисел, умноженными на $1$, $-1$, $5$ или $-5$, где

$b_2=s/t$, $s$ и $t$ - целые числа, необязательно взаимно-простые.

Исправленная программа даёт $281$ подходящих вариантов с проверкой утверждения (17) и равенства (5) по модулю $41$.
Если проверять только утверждение (17) без равенства (5) получим, как не странно, те же $24081$ вариантов, что и раньше.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Проведём прямую через точки $(-4, 80)$ и $(b_2, A_2)$ и найдём третью точку пересечения этой прямой с эллиптической кривой (12).
Уравнение этой прямой: $Y=r_1 X+r_2$, где $r_1=\frac{A_2-80}{b_2+4}$, $r_2=80+4 r_1$.
Следовательно, абсцисса $X$ любой точки пересечения этой прямой с эллиптической кривой (12)
удовлетворяет уравнению: $(r_1 X+r_2)^2= X^3 - 8 X^2 - 432 X + 4864$.
По теореме Виета, $8+r_1^2=-4+b_2+X_3$, где $X_3$ - абсцисса третьей точки пересечения.
Получим выражение для $X_3$ в программе "Reduce":

u:=a2*a4/a3^2;
B:=(a2^5-4*a4^5)/(2*a3^5*(u-1));
b1:=B-(5*u^2-2*u/5);
b2:=-10*b1;

Y2:=((b2-100)-(25*b2-204)*u)*2/5;
r1:=(Y2-80)/(b2+4);
X3:=8+r1^2+4-b2;

Получим $X_3=s/t$, где

$s=125 a_2^{15} a_3^3-1250 a_2^{13} a_3^2 a_4^3+1350 a_2^{12} a_3^4 a_4^2+4 a_2^{11} a_3^6 a_4-12500 a_2^{11} a_3 a_4^6-104 a_2^{10} a_3^8+25500 a_2^{10} a_3^3 a_4^5-10500 a_2^9 a_3^5 a_4^4+125000 a_2^9 a_4^9-22160 a_2^8 a_3^7 a_4^3-395000 a_2^8 a_3^2 a_4^8+30400 a_2^7 a_3^9 a_4^2+385400 a_2^7 a_3^4 a_4^7-12320 a_2^6 a_3^{11} a_4+119432 a_2^6 a_3^6 a_4^6+50000 a_2^6 a_3 a_4^{11}+80 a_2^5 a_3^{13}-563696 a_2^5 a_3^8 a_4^5-102000 a_2^5 a_3^3 a_4^{10}+445280 a_2^4 a_3^{10} a_4^4+42000 a_2^4 a_3^5 a_4^9-66720 a_2^3 a_3^{12} a_4^3+88640 a_2^3 a_3^7 a_4^8-20000 a_2^3 a_3^2 a_4^{13}-98400 a_2^2 a_3^{14} a_4^2-121600 a_2^2 a_3^9 a_4^7+21600 a_2^2 a_3^4 a_4^{12}+63296 a_2 a_3^{16} a_4+49280 a_2 a_3^{11} a_4^6+64 a_2 a_3^6 a_4^{11}-14592 a_3^{18}-320 a_3^{13} a_4^5-1664 a_3^8 a_4^{10}-8000 a_3^3 a_4^{15}$,

$t=a_3^4 (25 a_2^{11} a_3^2 a_4-25 a_2^{10} a_3^4-500 a_2^9 a_3 a_4^4+1040 a_2^8 a_3^3 a_4^3-620 a_2^7 a_3^5 a_4^2+2500 a_2^7 a_4^7+120 a_2^6 a_3^7 a_4-8100 a_2^6 a_3^2 a_4^6-40 a_2^5 a_3^9+9316 a_2^5 a_3^4 a_4^5-4980 a_2^4 a_3^6 a_4^4+2000 a_2^4 a_3 a_4^9+1760 a_2^3 a_3^8 a_4^3-4160 a_2^3 a_3^3 a_4^8-560 a_2^2 a_3^{10} a_4^2+2480 a_2^2 a_3^5 a_4^7+80 a_2 a_3^{12} a_4-480 a_2 a_3^7 a_4^6+400 a_2 a_3^2 a_4^{11}-16 a_3^{14}+160 a_3^9 a_4^5-400 a_3^4 a_4^{10})$

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Необязательно работать с такими длинными выражениями.

Пусть $b_2=s/t$, $u=u_1/u_2$.
Сначала найдём $r_1$ в программе "Reduce":

b2:=s/t;
u:=u1/u2;
Y2:=((b2-100)-(25*b2-204)*u)*2/5;
r1:=(Y2-80)/(b2+4);

Получим: $r_1=2 (-25 s u_1+s u_2+204 t u_1-300 t u_2)/(5 u_2 (s+4 t))$

Пусть $r_1=m_1/m_2$.
Найдём $X_3$ в программе "Reduce":

b2:=s/t;
r1:=m1/m2;
X3:=8+r1^2+4-b2;

Получим: $X_3=(m_1^2 t-m_2^2 s+12 m_2^2 t)/(12 m_2^2 t)$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

После проверки утверждения (17) для новой точки по модулю $41$ осталось $81$ подходящих вариантов. Во всех этих вариантах $a_3$ делится на $41$ и либо $a_2$ либо $a_4$ делится на $41$.
Это варианты, в которых числа $s$ и $t$ в утверждении (17) делятся на $41$.

Продолжение следует.

[Феликс Шмидель]

Исправим ошибку:

b2:=s/t;
r1:=m1/m2;
X3:=8+r1^2+4-b2;

Получим: $X_3=(m_1^2 t-m_2^2 s+12 m_2^2 t)/(m_2^2 t)$.

Мы использовали точку $x_0=-4$.

Пусть теперь $x_0=s_0/t_0$.

b2:=s/t;
x0:=s0/t0;
r1:=m1/m2;
X3:=8+r1^2-x0-b2;

Получим: $X_3=(m_1^2 t t_0-m_2^2 s t_0-m_2^2 s_0 t+8 m_2^2 t t_0)/(m_2^2 t t_0)$;

Продолжение следует.