геометрическое неравенство

[constant]

Дан выпуклый четырехугольник, его стороны идут в производном порядке, однако $a \geqslant b \geqslant c \geqslant d$. Как доказать, что $a +b + d \geqslant l_1 + l_2$, где $l_1, l_2$ - диагонали?
Некоторые частные случаи: параллелограмм, ромб и вообще любой четырехугольник с перпендикулярными диагоналями решаются (через подстановку в неравенство о средних$l_1^2 + l_2^2$, последнюю cумму получить несложно), однако в общем случае продвижений нет.

[svv]

Если стороны идут в произвольном порядке, тогда что даёт условие $a \geqslant b \geqslant c \geqslant d$, какие четырехугольники ему не удовлетворяют? Всегда можно перечислить стороны в порядке невозрастания и обозначить их в этом списке через $a,b,c,d$.

[patzer2097]

svv в сообщении #884157 писал(а):

Если стороны идут в произвольном порядке, тогда что даёт условие $a \geqslant b \geqslant c \geqslant d$, какие четырехугольники ему не удовлетворяют?

Удовлетворяют все, но constant использует именно эти неравенства, когда просит доказать, что

constant в сообщении #883809 писал(а):

$a +b + d \geqslant l_1 + l_2$, где $l_1, l_2$ - диагонали

[svv]

Понял.

[constant]

Изложу полное решение частного случая, вдруг кого-нибудь они натолкнут на что-то более общное.
Для параллелограмма со сторонами a и b:
Тут мы хотим доказать, что $l_1 + l_2 \leqslant 2a+b$
$l_1^2 + l_2^2 = 2(a^2 + b^2)$
$\sqrt{(0.5(l_1^2 + l_2^2))} = $ $\sqrt{a^2 + b^2}$
$0.5(l_1 + l_2) \leqslant\sqrt{(0.5(l_1^2 + l_2^2))}$
$l_1 + l_2 \leqslant 2 \sqrt{(a^2 + b^2)}$
Чтобы доказать исходное утверждение, докажем что:
$\sqrt{(a^2 + b^2)} < 2a + b$
Это верно, так как после выкладок получил $3b < 4a$, что, очевидно, верно.

[constant]

Уточню, что я не прошу полного решения и не пытаюсь схалтурить, если кто-то может подсказать хотя бы идею - буду благодарен, а то пока что нулевые успехи для общего случая.

[Lia]

constant
Замечание за искусственный подъем темы.