Существование единственного представления

[oHag]

Помогите, пожалуйста, не знаю, с чего начать даже. Задача такова.
Пусть f(x) \in C([a, b]) \cap ([a, b]). Доказать, что существует единственное представление f(x)=g(x)+h(x), \text{где} g(x) \in AC([a, b]), h(x) - сингулярная функция на [a, b] либо h(x) \equiv 0 на [a, b] и f(a) = g(a).
Есть определение абсолютно непрерывной и сингулярной функций. От чего можно оттолкнуться?

[Brukvalub]

oHag писал(а):

f(x) \in C([a, b]) \cap ([a, b])

Что означает вторая скобка?

[AD]

oHag писал(а):

либо h(x) \equiv 0 на [a, b] и f(a) = g(a).

Обычно считают, что ноль - это одновременно и абсолютно непрерывная, и сингулярная функция. Если докажете, что ноль - единственная такая функция, то из этого будет сразу следовать единственность разложения.

oHag писал(а):

Пусть f(x) \in C([a, b]) \cap ([a, b]).

Чего-чего?, какой там второй класс? $\mathrm{VB}[a,b]$, ограниченной вариации то бишь, надо полагать?

Ну я предлагаю так это делать. Берёте $f$, считаете производную. Производная у $\mathrm{VB}$-функции существует почти всюду и интегрируема по Лебегу - это теорема такая, знаете такую? Потом от этой производной берете неопределенный интеграл по Лебегу. Он всегда абсолютно непрерывен. Его и берем в качестве $g$. Как брать $h$ - понятно, $h=f-g$.
Можно это так выразить: $g$ - это та часть $f$, которая восстанавливается по производной.

Собственно, непрерывностью мы не пользовались, просто "разрывная часть" уж совсем просто отделяется.

[oHag]

Brukvalub,
под f(x) \in C([a, b]) \cap ([a, b]) я понимаю, что функция непрерывная и область ее значений представлена отрезком [a, b]. Т.е. она на нем ограничена и является функцией ограниченной вариации.

Цитата:

Производная у $\mathrm{VB}$-функции существует почти всюду и интегрируема по Лебегу - это теорема такая, знаете такую?

А есть какое-то определяющее ее название? Потому что в литературе она как-то размазанно доказывается, основываясь на леммах Серпинского, и при решении я не знаю, как ее правильно ее назвать, чтобы меня поняли Не хочется приводить ее целиком, а может еще и с доказательством...

[Brukvalub]

oHag писал(а):

Brukvalub,
под f(x) \in C([a, b]) \cap ([a, b]) я понимаю, что функция непрерывная и область ее значений представлена отрезком [a, b]. Т.е. она на нем ограничена и является функцией ограниченной вариации.

Опять ничего не понятно. Рассмотрим функцию

\[ f(x) = \left[ {\begin{array}{*{20}c} {x \cdot \sin \frac{1}{x}\;,\;x \ne 0} \\ {0\;,\;x = 0} \\\end{array}} \right.\]

. Эта функция непрерывна на отрезке [-1 ; 1], и отображает его в себя. Но она не является функцией ограниченной вариации на этом отрезке . Так что Ваши представления о функциях конечной вариации нуждаются в корректировке.

oHag писал(а):

А есть какое-то определяющее ее название? Потому что в литературе она как-то размазанно доказывается, основываясь на леммах Серпинского, и при решении я не знаю, как ее правильно ее назвать, чтобы меня поняли

oHag писал(а):

Цитата:
Производная у $\mathrm{VB}$-функции существует почти всюду и интегрируема по Лебегу - это теорема такая, знаете такую?

А есть какое-то определяющее ее название? Потому что в литературе она как-то размазанно доказывается, основываясь на леммах Серпинского, и при решении я не знаю, как ее правильно ее назвать, чтобы меня поняли

Опять ничего не понятно. Какие леммы Серпинского? Это почти очевидный факт: каждая функция огр. вариации есть разность двух монотонно неубывающих функций, а такие функции п.в. дифференцируемы по т. Лебега, и их производная суммируема, что сразу вытекает из т. Фату.