oHag писал(а):
либо h(x) \equiv 0 на [a, b] и f(a) = g(a).
Обычно считают, что ноль - это одновременно и абсолютно непрерывная, и сингулярная функция. Если докажете, что ноль - единственная такая функция, то из этого будет сразу следовать единственность разложения.
oHag писал(а):
Пусть f(x) \in C([a, b]) \cap ([a, b]).
Чего-чего?, какой там второй класс?
![$\mathrm{VB}[a,b]$ $\mathrm{VB}[a,b]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/6/c/c6c4e5553c210fbd8bf1a22ee9457b4182.png)
, ограниченной вариации то бишь, надо полагать?
Ну я предлагаю так это делать. Берёте

, считаете производную. Производная у

-функции существует почти всюду и интегрируема по Лебегу - это теорема такая, знаете такую? Потом от этой производной берете неопределенный интеграл по Лебегу. Он всегда абсолютно непрерывен. Его и берем в качестве

. Как брать

- понятно,

.
Можно это так выразить:

- это та часть

, которая восстанавливается по производной.
Собственно, непрерывностью мы не пользовались, просто "разрывная часть" уж совсем просто отделяется.