2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Простая задача по статистике.
Сообщение01.07.2014, 23:30 


20/03/11
44
Надо мне было вспомнить статистику, взял я Лагутина и стал читать.

Есть в нём в частности следующая задача:

Цитата:
Пусть $X_0$ обозначает величину моей "неудачи", например сумму штрафа. Предположим, мои знакомые подвергли себя опыту того же типа. Обозначим размеры их "неудач" через $X_1,X_2 \hdots $. Сколько (в среднем) знакомых мне придётся опросить, пока не встретится человек, размер неудачи которого не меньше, чем у меня.

Формализуем задачу. Допустим $X_1,X_2 \hdots $ - независимые величины с одной и той же непрерывной функцией распределения. Введём случайную величину $N = \min\{n\geqslant 1 : X_n \geqslant X_0\}$. Чему равно математическое ожидание ${\mathbf{M}}N$


Как я её решал.

Обозначим через $X$ случайную величину, равную значению "неудачи".

Какова вероятность, что первый встречный будет иметь число больше моего или равное?

Ну, она будет зависеть от распределения, но в общем виде будет записываться формулой:

$\int_{X_0}^{+\infty} p(x)dx = c(X_0) > 0$

Вернее, больше нуля почти всюду, за исключением случая меры нуль, когда первое же значение получится максимальным, а распределение будет абсолютно непрерывным.

Как будет записано матожидание? Ну, вероятность, что i-тому встречному повезло меньше, чем мне, умножить на его номер:

получим ряд:

$\sum_{i=1}^{\infty} i\cdot c(X_0)^i,   c_j < 0$

Константа, обозначающая условную вероятность "неудачи" зависит от самой первой реализации случайной величины, поэтому возьмём по ней математическое ожидание и заменим почти всюду некой $c_2, 0 < c_2 < 1 $

(которая будет что-то вроде $c_2 = \int_{MX}^{+\infty} p(x)dx$)

$\sum_{i=1}^{\infty} i{c_2^i}$ = \theta( \frac{1}{1-c_2})

Ну, то есть, ряд не сходится в единственном случае - когда в первый раз выпало патологическое значение max распределения, имеющего непрерывный интервал в области максимального значения. Но у этого события мера нуль.

Ну а конкретные константы должны зависеть от распределения.


Я уж было обрадовался, но тут читаю Лагутина дальше:

Изображение

What the hell?

Ничего не понимаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение02.07.2014, 00:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Не опускаясь до придирок относительно того, что непрерывная функция распределения не всегда имеет плотность, сразу посмотрим на первую формулу

Lockywolf в сообщении #882960 писал(а):
Ну, какова вероятность, что первый встречный будет иметь число больше моего или равное?

Ну, она будет зависеть от распределения, но в общем виде будет записываться формулой:

$\int_{X_0}^{+\inf} p(x)dx = c(X_0) > 0$


И это что Вы нашли, вероятность? Тогда почему она зависит от случайной величины $X_0$? А верхний предел $\infty$ пишется так:
Код:
\infty


-- Ср июл 02, 2014 02:00:12 --

Вот ответьте на такой вопрос: Вы играете в какую-нибудь игру на деньги с игровым автоматом. Рядом другой такой же человек, на таком же автомате. Автоматы одинаковы, распределения выигрыша вы не знаете, но они одинаковы. Что вероятнее - Вы выиграете меньше, чем второй человек или больше? (в отличии от непрерывного случая здесь есть еще вариант ''одинаково'' с положительной вероятностью, но это сути и цели вопроса не меняет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение02.07.2014, 01:03 


20/03/11
44
Henrylee в сообщении #882991 писал(а):

И это что Вы нашли, вероятность? Тогда почему она зависит от случайной величины $X_0$?


Ну, вероятно, написано некорректно, а отредактировать я уже не могу, но кажется, это вполне можно назвать условной вероятностью.

 Профиль  
                  
 
 Posted automatically
Сообщение02.07.2014, 05:19 


20/03/14
12041
 i  Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Наберите корректно все Ваши формулы. Уберите первую картинку и запишите условие здесь в соответствии с требованиями Правил форума, т.е. в $\TeX$.
Краткие инструкции можно найти здесь: topic8355.html и topic183.html.
Кроме этого, в теме Видео-пособия для начинающих форумчан можно посмотреть видео-ролик "Как записывать формулы".

Знак бесконечности пишется так: \infty.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение02.07.2014, 15:24 


20/03/11
44
Цитата:
Вот ответьте на такой вопрос: Вы играете в какую-нибудь игру на деньги с игровым автоматом. Рядом другой такой же человек, на таком же автомате. Автоматы одинаковы, распределения выигрыша вы не знаете, но они одинаковы. Что вероятнее - Вы выиграете меньше, чем второй человек или больше? (в отличии от непрерывного случая здесь есть еще вариант ''одинаково'' с положительной вероятностью, но это сути и цели вопроса не меняет).


Я не очень понял вопрос, но на то, что как мне показалось, вы спросили, ответ следующий:

Задача симметрична. Вероятность, что автомат выдаст мне больше денег, чем соседу, равна вероятности обратной ситуации, когда автомат выдаст соседу больше чем мне. Значит $a = 1 - a = \frac{1}{2}$.
Это верно за исключением случая, когда автомат вообще никак не использует случайность, и просто по нажатии кнопки выдаёт фиксированную сумму. Тогда мы с вероятностью 1 получим равный выигрыш.

Если я правильно вас понял, то это даже значит, что константа $c_2 = \frac{1}{2}$, и подсчёт ещё более упрощается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение02.07.2014, 15:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Правильнее сказать, вероятности равны. Но в случае, когда равенство сумм (это я про автоматы) имеет вер-ть ноль, то
$1/2$. И в книжке у Вас тоже столько же при $n=1$.
Тем не менее и с помощью условных вероятностей тоже можно. Только надо до конца доводить:
$$
\Prob\left\{X_1>X_0\,|\,X_0\right\}=1-F(X_0),
$$
где $F(x)$ та самая непрерывная функция распределения величин $X_i$.
Наконец,
$$
\Prob\left\{X_1>X_0\right\}=E\Prob\left\{X_1>X_0\,|\,X_0\right\}=1-EF(X_0)=\frac12,
$$
поскольку $F(X_0)$ имеет (для непрерывной $F(x)$) равномерное на $[0,1]$ распределение.

-- Ср июл 02, 2014 16:39:26 --

Lockywolf в сообщении #883173 писал(а):
Задача симметрична. Вероятность, что автомат выдаст мне больше денег, чем соседу, равна вероятности обратной ситуации, когда автомат выдаст соседу больше чем мне. Значит $a = 1 - a = \frac{1}{2}$.
Это верно за исключением случая, когда автомат вообще никак не использует случайность, и просто по нажатии кнопки выдаёт фиксированную сумму. Тогда мы с вероятностью 1 получим равный выигрыш.

Почему ''за исключением''? Также события равновероятны и в этом случае, просто обе вероятности нулевые.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение02.07.2014, 16:46 


20/03/11
44
Цитата:
Только надо до конца доводить


Так почему ж у Лагутина-то бесконечное матожидание?

Казалось бы, с каждым следующим испытуемым вероятность должна уменьшаться вдвое, и ряд сходится, и причём очень быстро.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение02.07.2014, 18:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Lockywolf в сообщении #883203 писал(а):
Цитата:
Только надо до конца доводить


Так почему ж у Лагутина-то бесконечное матожидание?

Казалось бы, с каждым следующим испытуемым вероятность должна уменьшаться вдвое, и ряд сходится, и причём очень быстро.


А что Вам у него конкретно непонятно? Там все ясно написано.
Ряд гармонический.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение02.07.2014, 19:15 


20/03/11
44
Цитата:
А что Вам у него конкретно непонятно? Там все ясно написано.


Вы издеваетесь что ли?

Откуда у него гармонический ряд берётся, когда мы с вами только что перепроверили два раза (первый раз в первом посте, второй в вашем предыдущем сообщении), что ряд там $\Theta(\sum\frac{1}{2^i})$.

И это ни разу не гармонический ряд.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение03.07.2014, 08:05 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Lockywolf в сообщении #883253 писал(а):
Цитата:
А что Вам у него конкретно непонятно? Там все ясно написано.


Откуда у него гармонический ряд берётся, когда мы с вами только что перепроверили два раза (первый раз в первом посте, второй в вашем предыдущем сообщении), что ряд там $\Theta(\sum\frac{1}{2^i})$.

И это ни разу не гармонический ряд.

Это Вы наверное шутите. Ничего такого мы с Вами не проверяли. Это Вы сами решили, что там геометрическая прогрессия. Все, что я показал, это то, что вероятность наткнуться с первого раза на человека с бОльшим значением случайной величины равна $1/2$. И все.
Для троих будет не $1/4$, а $1/3$, как и показано в этой книжке.

Я полагаю, Вы считаете независимыми события, которые таковыми не являются.

-- Чт июл 03, 2014 09:15:53 --

Ну давайте для убедительности.
Расмотрим такую вероятность
$$
\Prob\left\{X_0>X_1,\,X_0>X_2\right\}
$$
Вы полагаете, что события независимы, и эта вероятность равна $1/4$.
Ан нет:
$$
\Prob\left\{X_0>X_1,\,X_0>X_2\,|\,X_0\right\}=F^2(X_0)
$$
$$
\Prob\left\{X_0>X_1,\,X_0>X_2\right\}={\rm E}\Prob\left\{X_0>X_1\,X_0>X_2\,|\,X_0\right\}={\rm E}F^2(X_0)=\int\limits_0^1x^2\,dx=\frac13.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение03.07.2014, 09:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Lockywolf, или так, что ли: обратите внимание, что ситуация с тремя соседями точно так же симметрична, как и с двумя. Вероятность, что один из них является максимально выигравшим - такая же, как у остальных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение03.07.2014, 09:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
ИСН в сообщении #883466 писал(а):
Lockywolf, или так, что ли: обратите внимание, что ситуация с тремя соседями точно так же симметрична, как и с двумя. Вероятность, что один из них является максимально выигравшим - такая же, как у остальных.

А почти ровно это в книжке (в первом посте) и написано, про симметрию. Но это почему-то ТС не удовлетворяет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение03.07.2014, 12:52 


20/03/11
44
Ээээ, что-то это выглядит странно. В формулы я ещё вчитаюсь, но у меня есть уточняющий вопрос:

Если первого броска нет, а я известным мне способом выбираю константу С, с которой всё сравниваю, изменится ли результат?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение03.07.2014, 19:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
Если Вы сравниваете все результаты $X_1,X_2,\dots$ с некой константой, выбранной ранее, тогда события будут независимы. Вы об этом?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задача по статистике.
Сообщение03.07.2014, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/11/06
4171
Смотря что понимать под "изменится". В этом случае
$$\mathsf P(N>n) = \mathsf P(X_1 < C, \ldots, X_n < C) = F^n(C),$$
$$\mathsf E N = \sum_{n=0}^{\infty} \mathsf P(N>n)= \sum_{n=0}^\infty F^n(C)=\dfrac{1}{1-F(C)},$$
и если Вы теперь захотите считать $C$ реализацией $X_0$ и проинтегрировать по ней, то нет, ничего измениться не может:
$$\mathsf E(\mathsf E(N | X_0)) = \mathsf E\dfrac{1}{1-F(X_0)} = \int_{\mathbb R} \dfrac{1}{1-F(x)}dF(x) = -\lim_{x\to+\infty}\ln (1-F(x)) = +\infty. $$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group