Ответ вроде простой, метрика Шварцшильда ведь статичная.
где
это радиус Шварцшильда для тела массы
в поле которого движется частица массы
Однако, вернулся к данной теме, и нарисовалась следующая выкладка. Пускай будет тут, если модераторы не возражают.
В поле Шварцшильда, создаваемого массой
, для покоящегося на радиусе
камня массы
энергия будет
где
.
Это выражение для энергии основано на ее связи с первой компонентой ковариантного вектора энергии-импульса материальной частицы
. Но такой подход имеет ряд подводных камней. Поскольку физические скорости для малых скоростей приближаются к контравариантным скоростям
, то, физические импульсы соответствуют компонентам контравариантного вектора энергии-импульса
. Если связывать физические импульсы с ковариантным вектором, то оказывается, что они будут направлены в противоположную сторону по сравнению со скоростью.
Для свободно движущейся частицы энергия
остается постоянной, но конфигурация гравитационного поля меняется, поэтому если ее связывать с энергией, то это не отражает энергообмен с гравитационным полем.
Эти противоречия отсутствуют, если связывать энергию и импульс частицы с компонентами контравариантного вектора. Запишем для него уравнения Лагранжа.
Для лагранжиана материальной частицы
получаем уравнения Эйлера-Лагранжа
где
Поднимая индексы, находим
где
Второй член в левой части этого уравнения связывается с импульсами, которыми обменивается частица с гравитационным полем при движении в нем (см. книгу Динамика в общей теории относительности: вариационные методы).
В поле Шварцшильда энергия материальной частицы при уменьшении r возрастает, для неподвижной частицы она составляет
Для свободно движущейся частицы компонента вектора силы
равна нулю, поэтому возрастание ее энергии происходит за счет приобретения отрицательной энергии гравитационным полем. В ОТО, в отличие от энергии частицы, энергия гравитационного поля нелокализуема, то есть распределена по всему пространству, поэтому ее нельзя непосредственно приплюсовывать к энергии частицы, которая локализована в области, ограниченной ее размерами. При приближении к
энергия частицы в фиксированной неподвижной системе отсчета неограниченно возрастает, но ее поглощение ЧД очевидно не будет описываться метрикой Шварцшильда.