Всем Добрый день!
Хочу поделиться своими рассуждениями в исследовании излагаемого вопроса и возможно вы поможете мне в его разрешении!))))) Итак начнем.
Как показано на рисунке 3.3
на передаче имеем 2 антенны, на приемной стороне 1-ну. Поток данных, который нам нужно передать разбиваем по 2 символа. К примеру возьмем два первых
и
. Если так, то в соответствии с далее излагаемым принципом нам необходимо два момента времени, следующих один за другим. В каждый из моментов мы передаем определенным образом через обе антенны символы
и
. Все это действие наглядно показано в Таблице 3.1.
Получается, что мы передаем данные символы согласно матрице передачи
![${G_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}} \\ { - x_2^*}&{x_1^*}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb170642d12c3913301022c24269eff582.png "${G_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}} \\ { - x_2^*}&{x_1^*}\end{array}} \right]$")
, являющейся обобщенной вещественно ортогональной формой. Условие для того, чтобы матрица являлась обобщенной вещественно ортогональной формой, заключается в следующем:
(
УСЛОВИЕ 1)
где
- комплексно сопряженная и затем транспонированная матрица
;
- эрмитово сопряжение матрицы
;
- диагональная единичная матрица.
Пробовал моделировать данную систему (рис 3.3) в пакете программ
MATLAB - все прекрасно получается.
Вот результат:
, график отражает зависимость вероятности ошибки принятого сигнала от отношения сигнал/шум в канале связи. В данном случае сравниваются общепринятая система с 1 передающей и 1 приемной антенной и системой (рис 3.3).
Да действительно матрица
удовлетворяет указанному условию!!!
![$G_2^H \cdot {G_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&0\\0&{86}\end{array}} \right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/e/3ae280dfe97a54234b54e7310a4f762282.png "$G_2^H \cdot {G_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&0\\0&{86}\end{array}} \right]$")
, при
,
Далее рассмотрел матрицу G такого вида:
![${G_x} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\\{ - {x_2}}&{{x_1}}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/3/60341df95bfc3f2491184c5e6bbcfa6982.png "${G_x} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\\{ - {x_2}}&{{x_1}}\end{array}} \right]$")
, результаты моделирования получились намного хуже...
и к тому же не соблюдается
УСЛОВИЕ 1,
![$G_x^H \cdot {G_x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&{36i}\\{ - 36i}&{86}\end{array}} \right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/4/774543a1465c5512ffa0eb6fbe56412882.png "$G_x^H \cdot {G_x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&{36i}\\{ - 36i}&{86}\end{array}} \right]$")
Хотя при моделировании в MACHCAD результаты получаются одинаковыми, но при введении шума иные. Привожу одни и вторые результаты, затем опишу их. Полученные системы уравнений решались при помощи метода Крамера.
,
Итак, что получилось в итоге? а вот что: Имея 2 идентичные системы (рис 3.3), но применяя различные матрицы передачи обобщенную вещественно ортогональную матрицу
и не являющейся таковой
без шума в канале связи (вообще без каких бы то ни было помех) получаем идентичные результаты на выходе! (что передали, то и получили на приеме). Но как только мы вносим шум в канал связи (причем идентичный, для чистоты эксперимента), то мы получаем результаты такие, что при использовании
полученные на приеме сигналы значительно меньше отличаются от переданных, нежели в случае использования
. Возможно это получается в следствии того, что в первом случае мы использовали именно обобщенную вещественно ортогональную матрицу.
ВОПРОС: Почему получается именно так? Без шума результаты идентичные, а с шумом лучшие результаты у ?Выходит, что для эффективной передачи данных с использованием системы на рис 3.3, (система 2*1) нам необходимо использовать матрицы, удовлетворяющие
УСЛОВИЮ 1 .
Если предположить, что на передающей стороне число антенн равно 4, при условии скорости кодирования R=1 (пример: за 2 момента времени мы передали 2 символа и за те же 2 момента времени мы их декодировали), то нам понадобиться обобщенная вещественно ортогональная матрица 4*4 (R=1), либо 4*8 (R=1/2), которая обязательно удовлетворяла
УСЛОВИЮ 1.
Поиск таких матриц и является проблемой...
К примеру из источников нашел матрицу 4*8, удовлетворяющую УСЛОВИЮ 1
![${G_{4 \times 8}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{ - {x_2}}&{ - {x_3}}&{ - {x_4}}&{x_1^*}&{ - x_2^*}&{ - x_3^*}&{ - x_4^*}\\{{x_2}}&{{x_1}}&{{x_4}}&{ - {x_3}}&{x_2^*}&{x_1^*}&{x_4^*}&{ - x_3^*}\\{{x_3}}&{ - {x_4}}&{{x_1}}&{{x_2}}&{x_3^*}&{ - x_4^*}&{x_1^*}&{x_2^*}\\{{x_4}}&{{x_3}}&{ - {x_2}}&{{x_1}}&{x_4^*}&{x_3^*}&{ - x_2^*}&{x_1^*}\end{array}} \right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/3/3f331d8573d746deb072c63fa0db874982.png "${G_{4 \times 8}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{ - {x_2}}&{ - {x_3}}&{ - {x_4}}&{x_1^*}&{ - x_2^*}&{ - x_3^*}&{ - x_4^*}\\{{x_2}}&{{x_1}}&{{x_4}}&{ - {x_3}}&{x_2^*}&{x_1^*}&{x_4^*}&{ - x_3^*}\\{{x_3}}&{ - {x_4}}&{{x_1}}&{{x_2}}&{x_3^*}&{ - x_4^*}&{x_1^*}&{x_2^*}\\{{x_4}}&{{x_3}}&{ - {x_2}}&{{x_1}}&{x_4^*}&{x_3^*}&{ - x_2^*}&{x_1^*}\end{array}} \right]$")
![${G_{4 \times 8}} \cdot G_{4 \times 8}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{208}&0&0&0\\0&{208}&0&0\\0&0&{208}&0\\0&0&0&{208}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/8/e98640aa515556e4371fa5f75b9b24b482.png "${G_{4 \times 8}} \cdot G_{4 \times 8}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{208}&0&0&0\\0&{208}&0&0\\0&0&{208}&0\\0&0&0&{208}\end{array}} \right]$")
, но скорость при ее применении сразу падает в 2 раза...
Также нашел из источников матрицу
![${G_{4*4}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}&0&0\\0&0&{{x_3}}&{{x_4}}\\{ - x_2^*}&{x_1^*}&0&0\\0&0&{ - x_4^*}&{x_3^*}\end{array}} \right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f4a45e38bb0e2a0fe98b7cbb9a8762c82.png "${G_{4*4}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}&0&0\\0&0&{{x_3}}&{{x_4}}\\{ - x_2^*}&{x_1^*}&0&0\\0&0&{ - x_4^*}&{x_3^*}\end{array}} \right]$")
, тоже УСЛОВИЕ 1 соблюдается
![${G_{4 \times 4}} \cdot G_{4 \times 4}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&0&0&0\\0&{18}&0&0\\0&0&{86}&0\\0&0&0&{18}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/2/2122ef7fd190451b40f8638ac4d7162782.png "${G_{4 \times 4}} \cdot G_{4 \times 4}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&0&0&0\\0&{18}&0&0\\0&0&{86}&0\\0&0&0&{18}\end{array}} \right]$")
Еще одна матрица
![${G_{4*4n1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}}\\{x_2^*}&{ - x_1^*}&{x_4^*}&{ - x_3^*}\\{x_3^*}&{x_4^*}&{ - x_1^*}&{ - x_2^*}\\{{x_4}}&{ - {x_3}}&{ - {x_2}}&{{x_1}}\end{array}} \right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/2/c12eb4df5b47f1573e7b551432b45fbe82.png "${G_{4*4n1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}}\\{x_2^*}&{ - x_1^*}&{x_4^*}&{ - x_3^*}\\{x_3^*}&{x_4^*}&{ - x_1^*}&{ - x_2^*}\\{{x_4}}&{ - {x_3}}&{ - {x_2}}&{{x_1}}\end{array}} \right]$")
,
УСЛОВИЕ 1 не соблюдается...
![${G_{4*4n1}} \cdot G_{4*4n1}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{104}&0&0&{ - 50}\\0&{104}&{50}&0\\0&{50}&{104}&0\\{ - 50}&0&0&{104}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/210f58f7b10c06c2509e288a89e8be5182.png "${G_{4*4n1}} \cdot G_{4*4n1}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{104}&0&0&{ - 50}\\0&{104}&{50}&0\\0&{50}&{104}&0\\{ - 50}&0&0&{104}\end{array}} \right]$")
А вот в результате что получили
Немного ошибся в обозначениях..., вот заметил. На рисунке зеленой линией приводиться результат при использовании матрицы
, а красной
.
Выходит, что при применении 4 антенн на передающей стороне и матрицы
мы получили те же результаты, что и при применении 2 антенн на передачи и матрицы
..., хотя обе удовлетворяют
УСЛОВИЮ 1. Выходит в данном случае увеличение числа передающих антенн не приводит к эффективности передачи информации.
Но в тоже время, при применении матрицы не удовлетворяющей
УСЛОВИЮ 1 , мы получили результаты значительно лучшие!
Моделирование с использованием матрицы
не проводилось.
Из вышеизложенного можно сделать вывод, что нам необходимо найти матрицу 4*4, применение которой улучшило бы эффективность передачи информации по сравнению с
и с неортогональной матрицей
.
Что вы уважаемые форумчане можете сказать по данной информации? Буду очень раз всем мнениям по данной теме!
![$\[y = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/d/b/2db9109801d98962986ffc96a723e30382.png "$\[y = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2}\]$")
![$\[x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}} \\
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/b/20b8ac0655f20f3dc9fbe20ed78f2c8482.png "$\[x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}} \\
\end{array}} \right]\]$")
, ![$\[H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} & {{h_2}} \\
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/a/8/ba8ee8549abfca7f58ad17910fce64e382.png "$\[H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} & {{h_2}} \\
\end{array}} \right]\]$")
![$\[y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} & {{h_2}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}} \\
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/a/8/8a8c5026fe2b4bf3f4745554248f30bb82.png "$\[y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} & {{h_2}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}} \\
\end{array}} \right]\]$")
![$\[W = {\left( {{H^H}H} \right)^{ - 1}}{H^H}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/5/0/050c50e29f2df09f48025871cf2a6afb82.png "$\[W = {\left( {{H^H}H} \right)^{ - 1}}{H^H}\]$")
не получается..???![$\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\tilde x}_1}} \\
{{{\tilde x}_2}} \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_1}} \\
{{w_2}} \\
\end{array}} \right] \cdot y\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/6/b/46b8189bd1d8e1a02b99677a8c9318a582.png "$\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\tilde x}_1}} \\
{{{\tilde x}_2}} \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_1}} \\
{{w_2}} \\
\end{array}} \right] \cdot y\]$")
![$\[x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} & {{x_2}} \\
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/1/2e1737eb714b524891ec653da9da556d82.png "$\[x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} & {{x_2}} \\
\end{array}} \right]\]$")
, ![$\[H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} \\
{{h_2}} \\
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/d/3/cd3453b825839fbfccf8a8d94efc284782.png "$\[H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} \\
{{h_2}} \\
\end{array}} \right]\]$")
![$\[y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} & {{x_2}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} \\
{{h_2}} \\
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/0/f/50f9c9fbd3ffe333f2bbd7a9dd3ab63482.png "$\[y = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} & {{x_2}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} \\
{{h_2}} \\
\end{array}} \right]\]$")
![$\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\tilde x}_1}} & {{{\tilde x}_2}} \\
\end{array}} \right] = y \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_1}} & {{w_2}} \\
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/6/0f6e5a083b644105601c9061774a98c382.png "$\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\tilde x}_1}} & {{{\tilde x}_2}} \\
\end{array}} \right] = y \cdot \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_1}} & {{w_2}} \\
\end{array}} \right]\]$")
получаем ![$\[x \ne \tilde x\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/7/2/172204cf3e7e6213abc389116779bf8d82.png "$\[x \ne \tilde x\]$")
![$\[x = {x_1}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/8/7/887fb745b5185d2b17adb2e3b2eb6f7582.png "$\[x = {x_1}\]$")
, ![$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = {h_1}x} \\
{{y_2} = {h_2}x} \\
\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}} \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} \\
{{h_2}} \\
\end{array}} \right] \cdot x\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/c/8/6c86fcb3021c1b8cc54e5c580e7c47c582.png "$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = {h_1}x} \\
{{y_2} = {h_2}x} \\
\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}} \\
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}} \\
{{h_2}} \\
\end{array}} \right] \cdot x\]$")
, ![$\[\tilde x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_1}} & {{w_2}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}} \\
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/3/1/031006f0938b155c332713673d5a71b982.png "$\[\tilde x = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{w_1}} & {{w_2}} \\
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}} \\
\end{array}} \right]\]$")
![$\[tx \le rx\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/0/f/20f2e19b496771f913ad2f6971e26eba82.png "$\[tx \le rx\]$")
, где ![$\[tx\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/1/781b0171c43c3a00e791a9ca887418a182.png "$\[tx\]$")
- количество передающих антенн, а ![$\[rx\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/d/6/0d692b5189d3855b923252a0d03ae60782.png "$\[rx\]$")
- количество приемных антенн.
, то информации, принятой приемными антеннами, недостаточно для того, чтобы восстановить переданную информацию. Из одного числа 
Вы не восстановите два 
и 
. Тем более несколько.
Зная только сумму 
, слагаемые восстановить невозможно. Это аналог одной приемной антенны.
, тогда восстановление возможно. Это аналог двух приемных антенн.
, восстановление тем более возможно, информация даже избыточна. Это аналог трех приемных антенн.
в трехмерном пространстве. Надо узнать его компоненты. Человек, который «задумал» вектор, может для любого Вашего вектора 
сообщить скалярное произведение 
.
, и всех трех компонент не восстановите.
, получаете число 
, этого ещё недостаточно.
, получаете число 
, этого будет достаточно, при условии линейной независимости 
.
и так далее, Вам сообщат 
, но это уже избыточно. С точки зрения линейной алгебры, в трехмерном векторном пространстве четыре и более векторов всегда линейно зависимы.
векторов, Вы получите систему из 
однозначного решения не получится.![$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = {h_{11}}{x_1} + {h_{21}}{x_2}} \\
{{y_2} = {h_{12}}{x_1} + {h_{22}}{x_2}}
\end{array} \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}}
\end{array}} \right]} \right. = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{h_{21}}} \\
{{h_{12}}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}}
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/9/7/1971f9ba0deffa303499fb1844e7aedb82.png "$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = {h_{11}}{x_1} + {h_{21}}{x_2}} \\
{{y_2} = {h_{12}}{x_1} + {h_{22}}{x_2}}
\end{array} \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}}
\end{array}} \right]} \right. = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{h_{21}}} \\
{{h_{12}}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}}
\end{array}} \right]\]$")
![$\[{x_1}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/6/a76d3a074cf9de767f361fc82b38f83282.png "$\[{x_1}\]$")
и ![$\[{x_2}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/7/78729383ed2006746ad4c774315149aa82.png "$\[{x_2}\]$")
.![$\[{{\tilde x}_1} = \dfrac{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}}&{{h_{21}}} \\
{{y_2}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]}}{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{h_{21}}} \\
{{h_{12}}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]}} = \dfrac{{{h_{22}}{y_1} - {h_{21}}{y_2}}}{{{h_{11}}{h_{22}} - {h_{12}}{h_{21}}}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/a/72a1bd2e3a887886bf39aed8d44e181282.png "$\[{{\tilde x}_1} = \dfrac{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}}&{{h_{21}}} \\
{{y_2}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]}}{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{h_{21}}} \\
{{h_{12}}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]}} = \dfrac{{{h_{22}}{y_1} - {h_{21}}{y_2}}}{{{h_{11}}{h_{22}} - {h_{12}}{h_{21}}}}\]$")
, ![$\[{{\tilde x}_2} = \dfrac{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{y_1}} \\
{{h_{12}}}&{{y_2}}
\end{array}} \right]}}{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{h_{21}}} \\
{{h_{12}}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]}} = \dfrac{{{h_{11}}{y_2} - {h_{12}}{y_1}}}{{{h_{11}}{h_{22}} - {h_{12}}{h_{21}}}}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/d/b/4db42a980e61549f1193bf19d059cbfe82.png "$\[{{\tilde x}_2} = \dfrac{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{y_1}} \\
{{h_{12}}}&{{y_2}}
\end{array}} \right]}}{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_{11}}}&{{h_{21}}} \\
{{h_{12}}}&{{h_{22}}}
\end{array}} \right]}} = \dfrac{{{h_{11}}{y_2} - {h_{12}}{y_1}}}{{{h_{11}}{h_{22}} - {h_{12}}{h_{21}}}}\]$")
![$\[{{x_1}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/a/6/da61e0a10f195f79506e969a805c57a682.png "$\[{{x_1}}\]$")
, а вторая передающая антенна (далее - tx2) - символ ![$\[{{x_2}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/f/7ef14bea0cbbb2cdc27223efee591c2682.png "$\[{{x_2}}\]$")
. ![$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2}} \\
{{y_2} = {h_2}{x_1} + {h_1}{x_2}}
\end{array} \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}}
\end{array}} \right]} \right. = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}&{{h_2}} \\
{{h_2}}&{{h_1}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}}
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/9/7c9c200ec4b14895a3e9d344eddac15282.png "$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = {h_1}{x_1} + {h_2}{x_2}} \\
{{y_2} = {h_2}{x_1} + {h_1}{x_2}}
\end{array} \to \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}} \\
{{y_2}}
\end{array}} \right]} \right. = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}&{{h_2}} \\
{{h_2}}&{{h_1}}
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{x_1}} \\
{{x_2}}
\end{array}} \right]\]$")
![$\[{{\tilde x}_1} = \dfrac{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}}&{{h_2}} \\
{{y_2}}&{{h_1}}
\end{array}} \right]}}{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}&{{h_2}} \\
{{h_2}}&{{h_1}}
\end{array}} \right]}} = \dfrac{{{h_1}{y_1} - {h_2}{y_2}}}{{h_1^2 - h_2^2}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/4/1/14184dd42f34926fa6d64896a7168b6282.png "$\[{{\tilde x}_1} = \dfrac{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1}}&{{h_2}} \\
{{y_2}}&{{h_1}}
\end{array}} \right]}}{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}&{{h_2}} \\
{{h_2}}&{{h_1}}
\end{array}} \right]}} = \dfrac{{{h_1}{y_1} - {h_2}{y_2}}}{{h_1^2 - h_2^2}}\]$")
, ![$\[{{\tilde x}_2} = \dfrac{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}&{{y_1}} \\
{{h_2}}&{{y_2}}
\end{array}} \right]}}{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}&{{h_2}} \\
{{h_2}}&{{h_1}}
\end{array}} \right]}} = \dfrac{{{h_1}{y_2} - {h_2}{y_1}}}{{h_1^2 - h_2^2}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/5/2/f523c99ef0739cadd770e431aac3841f82.png "$\[{{\tilde x}_2} = \dfrac{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}&{{y_1}} \\
{{h_2}}&{{y_2}}
\end{array}} \right]}}{{\det \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}&{{h_2}} \\
{{h_2}}&{{h_1}}
\end{array}} \right]}} = \dfrac{{{h_1}{y_2} - {h_2}{y_1}}}{{h_1^2 - h_2^2}}\]$")
![$\[x\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/a/6/ca64a19efa21fcdb6a66b9cc0f37208982.png "$\[x\]$")
за один такт, следовательно как и в прошлом случае применяем два момента времени для передачи одного символа, при чем ![$\[ - x\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/e/e4e29fdecb6f93416082658fc1c79e8482.png "$\[ - x\]$")
.![$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = {h_1}x} \\
{{y_2} = {h_2}x}
\end{array}} \right. \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\tilde x = h_1^H{y_1}} \\
{\tilde x = h_2^H{y_2}}
\end{array}} \right.\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/6/d/56d672f26d1c8ae70e72f8b485e6ecbd82.png "$\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{y_1} = {h_1}x} \\
{{y_2} = {h_2}x}
\end{array}} \right. \to \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\tilde x = h_1^H{y_1}} \\
{\tilde x = h_2^H{y_2}}
\end{array}} \right.\]$")
![$\[{\tilde x}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/d/fedf97df6f5974d5b3c7c6648e23157982.png "$\[{\tilde x}\]$")
![$\[\tilde x = h_1^H{y_1} + h_2^H{y_2} \to \tilde x = h_1^H{h_1}x + h_2^H{h_2}x \to \tilde x = \left( {{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}} \right)x\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/7/f/07f87206ccd32bc52c5db9cca33486e182.png "$\[\tilde x = h_1^H{y_1} + h_2^H{y_2} \to \tilde x = h_1^H{h_1}x + h_2^H{h_2}x \to \tilde x = \left( {{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}} \right)x\]$")
![$\[ \to x = \dfrac{{h_1^H{y_1} + h_2^H{y_2}}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/5/3f58546141596bd56d05457da684705f82.png "$\[ \to x = \dfrac{{h_1^H{y_1} + h_2^H{y_2}}}{{{{\left| {{h_1}} \right|}^2} + {{\left| {{h_2}} \right|}^2}}}\]$")
![$\[\tilde x = {\left( {{H^H}H} \right)^{ - 1}}{H^H}y\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/e/33e6bb40c932fc86c5ad809a3dfe0f7582.png "$\[\tilde x = {\left( {{H^H}H} \right)^{ - 1}}{H^H}y\]$")
, то в методе ![$\[\tilde x = {\left( {{H^H}H + \dfrac{{{N_0}}}{{{E_S}}}I} \right)^{ - 1}}{H^H}y\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/9/8/8986afe25ed856bacec83b2d3cb5296c82.png "$\[\tilde x = {\left( {{H^H}H + \dfrac{{{N_0}}}{{{E_S}}}I} \right)^{ - 1}}{H^H}y\]$")
![$\[\tilde x = {\left( {{H^H}H + \dfrac{M}{{{\rho _0}}}I} \right)^{ - 1}}{H^H}y\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/3/2c3574ce4f5323762dd5a1131450663182.png "$\[\tilde x = {\left( {{H^H}H + \dfrac{M}{{{\rho _0}}}I} \right)^{ - 1}}{H^H}y\]$")
![$\[\tilde x = {\left( {{H^H}H + \dfrac{1}{{{\rho _0}}}I} \right)^{ - 1}}{H^H}y\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/8/528cb2df70ca80cb60752c3a7392d54d82.png "$\[\tilde x = {\left( {{H^H}H + \dfrac{1}{{{\rho _0}}}I} \right)^{ - 1}}{H^H}y\]$")
![$\[{\rho _0} = \dfrac{{\sigma _S^2}}{{\sigma _Z^2}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/8/5/98515223025e3dd1e06ecbcb8bcf566b82.png "$\[{\rho _0} = \dfrac{{\sigma _S^2}}{{\sigma _Z^2}}\]$")
- отношение согнал/шум![$\[{\sigma _S^2}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/2/a/b2a85c0daa0153d170a8f9a356150e1482.png "$\[{\sigma _S^2}\]$")
- дисперсия (энергия) информационных символов (известная величина, определяемая типом модуляции и алфавитом)![$\[{\sigma _Z^2}\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/a/0faf9a6652fbcc024588955b8db5ef7582.png "$\[{\sigma _Z^2}\]$")
- дисперсия (мощность) шумов приемника (измеренное значение, например до начала приема данных)![$\[H\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/6/c/76c4a3355f0ff954d142bdc153e453c982.png "$\[H\]$")
- канальная матрица (матрица коэффициентов передачи в канале связи)![$\[I\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/1/9/a196133e7fc92c96e8fba0116df2e33082.png "$\[I\]$")
- единичная матрица с числом строк/столбцов равному количеству пространственных каналов передачи, число которых напрямую зависит от числа передающих антенн.![$\[y\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/b/0/0b0d31554da0908297cd1e66578ca86e82.png "$\[y\]$")
- сигнал на входе приемной(-х) антенн![$\[{{N_0}}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/7/1e787fc26f3f8467eab99b16f6d3c0d782.png "$\[{{N_0}}\]$")
- мощность шума![$\[{{E_S}}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/c/3/2c326682963973c38994c07b2922f56082.png "$\[{{E_S}}\]$")
- мощность сигнала![$\[M\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/8/d/28d9b28ebf794f5a548118d0e7c2c8e482.png "$\[M\]$")
- число передающих антенн![$\[{\rho _0} = \dfrac{{\sigma _S^2}}{{\sigma _Z^2}} = \dfrac{{{E_S}}}{{{N_0}}}\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/b/f/7bf99cf8dd3ab49813be42c5c8798f1282.png "$\[{\rho _0} = \dfrac{{\sigma _S^2}}{{\sigma _Z^2}} = \dfrac{{{E_S}}}{{{N_0}}}\]$")
- отношение сигнал/шум![$\[\sqrt 2 \]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/8/d/a8d6af740159684c348e8f216c38305a82.png "$\[\sqrt 2 \]$")
.![$
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_1}}\\
{{r_2}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}\\
{{h_2}}
\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{n_1}}\\
{{n_2}}
\end{array}} \right]\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/3/4/4344c13c99991fe6112561ee7365654982.png "$
\[\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{r_1}}\\
{{r_2}}
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{h_1}}\\
{{h_2}}
\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{n_1}}\\
{{n_2}}
\end{array}} \right]\]$")
![$\[\tilde x = h_1^*{y_1} + h_2^*{y_2}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/e/2/2e21401deef14b22816c66f57a1ccad582.png "$\[\tilde x = h_1^*{y_1} + h_2^*{y_2}\]$")
непонятно....![$\[\tilde x = h_1^*{h_1}x + h_1^*{n_1} + h_2^*{h_2}x + h_2^*{n_2}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/4/5/d458d02b16a454df2c7c5b3565c5065c82.png "$\[\tilde x = h_1^*{h_1}x + h_1^*{n_1} + h_2^*{h_2}x + h_2^*{n_2}\]$")
по формулам Крамера:
![$\[h = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 + 5i}\\
{3 - 6i}
\end{array}} \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/0/f/e0f8ee30404957f7f586c2a940d3188382.png "$\[h = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 + 5i}\\
{3 - 6i}
\end{array}} \right)\]$")
![$\[x = 5 + 5i\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/0/2/102e3d142d0165bc7abee9511488282282.png "$\[x = 5 + 5i\]$")
![$\[Y = h \cdot x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 15 + 35i}\\
{45 - 15i}
\end{array}} \right)\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/b/f/abf9f8b935cd63d59e1166a631ffe54982.png "$\[Y = h \cdot x = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 15 + 35i}\\
{45 - 15i}
\end{array}} \right)\]$")
![$\[x1 = \dfrac{{h_0^H{Y_0}}}{{h_0^H{h_0}}} = 5 + 5i\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/b/0/9b0d2aa4abe1e53bb692451d4b7ac1c782.png "$\[x1 = \dfrac{{h_0^H{Y_0}}}{{h_0^H{h_0}}} = 5 + 5i\]$")
,![$\[x2 = \dfrac{{h_1^H{Y_1}}}{{h_1^H{h_1}}} = 5 + 5i\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/7/dd723a18575dd8d89bf5357ce8cc58de82.png "$\[x2 = \dfrac{{h_1^H{Y_1}}}{{h_1^H{h_1}}} = 5 + 5i\]$")
, ![$\[x3 = \dfrac{{h_0^H{Y_0} + h_1^H{Y_1}}}{{h_0^H{h_0} + h_1^H{h_1}}} = 5 + 5i\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/3/a/83a3b648798160661872aa8eaf8c820582.png "$\[x3 = \dfrac{{h_0^H{Y_0} + h_1^H{Y_1}}}{{h_0^H{h_0} + h_1^H{h_1}}} = 5 + 5i\]$")
![$\[x1 = \dfrac{2}{4} = 0.5\]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/8/87804e0e928d110370278e3230a55faa82.png "$\[x1 = \dfrac{2}{4} = 0.5\]$")
![$\[x2 = \dfrac{5}{{10}} = 0.5\]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/c/e/bce4c7ffd6148ddfbe3cb51c3749f0e282.png "$\[x2 = \dfrac{5}{{10}} = 0.5\]$")
![$\[x3 = \dfrac{{2 + 5}}{{4 + 10}} = \dfrac{7}{{14}} = 0.5\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/1/dd10db51bbdc860ab7c83edb9fe20bc282.png "$\[x3 = \dfrac{{2 + 5}}{{4 + 10}} = \dfrac{7}{{14}} = 0.5\]$")
![$\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\]$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/2/5/1259ebd5b2ad17fce94117c88cc6957a82.png "$\[\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\]$")
, то справедливо ![$\[\dfrac{{a \pm c}}{{b \pm d}} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/e/8/ae831392b3caa4b28cc457c4e713c7a982.png "$\[\dfrac{{a \pm c}}{{b \pm d}} = \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\]$")
, 
и 
: 
. Получим результат: 
