Всем Добрый день!
Хочу поделиться своими рассуждениями в исследовании излагаемого вопроса и возможно вы поможете мне в его разрешении!))))) Итак начнем.
Как показано на рисунке 3.3
![Изображение](http://savepic.ru/7295198.png)
на передаче имеем 2 антенны, на приемной стороне 1-ну. Поток данных, который нам нужно передать разбиваем по 2 символа. К примеру возьмем два первых
![${x_1}$ ${x_1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/81375d20ead7e1276e78f47f1dabef4182.png)
и
![${x_2}$ ${x_2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/e/90e1225688f0853cc9027b224f97334c82.png)
. Если так, то в соответствии с далее излагаемым принципом нам необходимо два момента времени, следующих один за другим. В каждый из моментов мы передаем определенным образом через обе антенны символы
![${x_1}$ ${x_1}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/1/3/81375d20ead7e1276e78f47f1dabef4182.png)
и
![${x_2}$ ${x_2}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/0/e/90e1225688f0853cc9027b224f97334c82.png)
. Все это действие наглядно показано в Таблице 3.1.
![Изображение](http://savepic.ru/7337169.png)
Получается, что мы передаем данные символы согласно матрице передачи
![${G_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}} \\ { - x_2^*}&{x_1^*}\end{array}} \right]$ ${G_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}} \\ { - x_2^*}&{x_1^*}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/1/eb170642d12c3913301022c24269eff582.png)
, являющейся обобщенной вещественно ортогональной формой. Условие для того, чтобы матрица являлась обобщенной вещественно ортогональной формой, заключается в следующем:
![${\left( {{G^*}} \right)^T} \cdot G = {G^H} \cdot G = I \cdot \left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_k^2} \right)$ ${\left( {{G^*}} \right)^T} \cdot G = {G^H} \cdot G = I \cdot \left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_k^2} \right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/2/7222b1c4d7711ae322bb7d01cc47638582.png)
(
УСЛОВИЕ 1)
где
![${\left( {{G^*}} \right)^T}$ ${\left( {{G^*}} \right)^T}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/d/f8d949dd772e28467a02c2312a0367ff82.png)
- комплексно сопряженная и затем транспонированная матрица
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
;
![${G^H}$ ${G^H}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/0/8/0082273fd78fccb0e5b0bf7d96331cab82.png)
- эрмитово сопряжение матрицы
![$G$ $G$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/2/0/5201385589993766eea584cd3aa6fa1382.png)
;
![$I$ $I$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/f/21fd4e8eecd6bdf1a4d3d6bd1fb8d73382.png)
- диагональная единичная матрица.
Пробовал моделировать данную систему (рис 3.3) в пакете программ
MATLAB - все прекрасно получается.
Вот результат:
![Изображение](http://savepic.ru/7325651.png)
, график отражает зависимость вероятности ошибки принятого сигнала от отношения сигнал/шум в канале связи. В данном случае сравниваются общепринятая система с 1 передающей и 1 приемной антенной и системой (рис 3.3).
Да действительно матрица
![${G_2}$ ${G_2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60dac8af5e3a4f8aa01db2bd1252ed582.png)
удовлетворяет указанному условию!!!
![$G_2^H \cdot {G_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&0\\0&{86}\end{array}} \right]$ $G_2^H \cdot {G_2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&0\\0&{86}\end{array}} \right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/a/e/3ae280dfe97a54234b54e7310a4f762282.png)
, при
![${x_1} = 3 - 3i$ ${x_1} = 3 - 3i$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/7/f/c7f2abf64839bbd714819180d9fc462882.png)
,
![${x_2} = 8 - 2i$ ${x_2} = 8 - 2i$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/5/7/e57be244ef05b4667ca61e6b9459621c82.png)
Далее рассмотрел матрицу G такого вида:
![${G_x} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\\{ - {x_2}}&{{x_1}}\end{array}} \right]$ ${G_x} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}\\{ - {x_2}}&{{x_1}}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/0/3/60341df95bfc3f2491184c5e6bbcfa6982.png)
, результаты моделирования получились намного хуже...
![Изображение](http://savepic.ru/7285716.png)
и к тому же не соблюдается
УСЛОВИЕ 1,
![$G_x^H \cdot {G_x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&{36i}\\{ - 36i}&{86}\end{array}} \right]$ $G_x^H \cdot {G_x} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&{36i}\\{ - 36i}&{86}\end{array}} \right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/7/4/774543a1465c5512ffa0eb6fbe56412882.png)
Хотя при моделировании в MACHCAD результаты получаются одинаковыми, но при введении шума иные. Привожу одни и вторые результаты, затем опишу их. Полученные системы уравнений решались при помощи метода Крамера.
![Изображение](http://savepic.ru/7278550.png)
,
![Изображение](http://savepic.ru/7320552.png)
Итак, что получилось в итоге? а вот что: Имея 2 идентичные системы (рис 3.3), но применяя различные матрицы передачи обобщенную вещественно ортогональную матрицу
![${G_2}$ ${G_2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60dac8af5e3a4f8aa01db2bd1252ed582.png)
и не являющейся таковой
![${G_x}$ ${G_x}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/0/6b0f7afbef72bb6679d963771667797482.png)
без шума в канале связи (вообще без каких бы то ни было помех) получаем идентичные результаты на выходе! (что передали, то и получили на приеме). Но как только мы вносим шум в канал связи (причем идентичный, для чистоты эксперимента), то мы получаем результаты такие, что при использовании
![${G_2}$ ${G_2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60dac8af5e3a4f8aa01db2bd1252ed582.png)
полученные на приеме сигналы значительно меньше отличаются от переданных, нежели в случае использования
![${G_x}$ ${G_x}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/b/0/6b0f7afbef72bb6679d963771667797482.png)
. Возможно это получается в следствии того, что в первом случае мы использовали именно обобщенную вещественно ортогональную матрицу.
ВОПРОС: Почему получается именно так? Без шума результаты идентичные, а с шумом лучшие результаты у
?Выходит, что для эффективной передачи данных с использованием системы на рис 3.3, (система 2*1) нам необходимо использовать матрицы, удовлетворяющие
УСЛОВИЮ 1 ![${\left( {{G^*}} \right)^T} \cdot G = {G^H} \cdot G = I \cdot \left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_k^2} \right)$ ${\left( {{G^*}} \right)^T} \cdot G = {G^H} \cdot G = I \cdot \left( {x_1^2 + x_2^2 + ... + x_k^2} \right)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/2/2/7222b1c4d7711ae322bb7d01cc47638582.png)
.
Если предположить, что на передающей стороне число антенн равно 4, при условии скорости кодирования R=1 (пример: за 2 момента времени мы передали 2 символа и за те же 2 момента времени мы их декодировали), то нам понадобиться обобщенная вещественно ортогональная матрица 4*4 (R=1), либо 4*8 (R=1/2), которая обязательно удовлетворяла
УСЛОВИЮ 1.
Поиск таких матриц и является проблемой...
К примеру из источников нашел матрицу 4*8, удовлетворяющую УСЛОВИЮ 1
![${G_{4 \times 8}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{ - {x_2}}&{ - {x_3}}&{ - {x_4}}&{x_1^*}&{ - x_2^*}&{ - x_3^*}&{ - x_4^*}\\{{x_2}}&{{x_1}}&{{x_4}}&{ - {x_3}}&{x_2^*}&{x_1^*}&{x_4^*}&{ - x_3^*}\\{{x_3}}&{ - {x_4}}&{{x_1}}&{{x_2}}&{x_3^*}&{ - x_4^*}&{x_1^*}&{x_2^*}\\{{x_4}}&{{x_3}}&{ - {x_2}}&{{x_1}}&{x_4^*}&{x_3^*}&{ - x_2^*}&{x_1^*}\end{array}} \right]$ ${G_{4 \times 8}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{ - {x_2}}&{ - {x_3}}&{ - {x_4}}&{x_1^*}&{ - x_2^*}&{ - x_3^*}&{ - x_4^*}\\{{x_2}}&{{x_1}}&{{x_4}}&{ - {x_3}}&{x_2^*}&{x_1^*}&{x_4^*}&{ - x_3^*}\\{{x_3}}&{ - {x_4}}&{{x_1}}&{{x_2}}&{x_3^*}&{ - x_4^*}&{x_1^*}&{x_2^*}\\{{x_4}}&{{x_3}}&{ - {x_2}}&{{x_1}}&{x_4^*}&{x_3^*}&{ - x_2^*}&{x_1^*}\end{array}} \right]$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/f/3/3f331d8573d746deb072c63fa0db874982.png)
![${G_{4 \times 8}} \cdot G_{4 \times 8}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{208}&0&0&0\\0&{208}&0&0\\0&0&{208}&0\\0&0&0&{208}\end{array}} \right]$ ${G_{4 \times 8}} \cdot G_{4 \times 8}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{208}&0&0&0\\0&{208}&0&0\\0&0&{208}&0\\0&0&0&{208}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/8/e98640aa515556e4371fa5f75b9b24b482.png)
, но скорость при ее применении сразу падает в 2 раза...
Также нашел из источников матрицу
![${G_{4*4}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}&0&0\\0&0&{{x_3}}&{{x_4}}\\{ - x_2^*}&{x_1^*}&0&0\\0&0&{ - x_4^*}&{x_3^*}\end{array}} \right]$ ${G_{4*4}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}&0&0\\0&0&{{x_3}}&{{x_4}}\\{ - x_2^*}&{x_1^*}&0&0\\0&0&{ - x_4^*}&{x_3^*}\end{array}} \right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/f/4/0f4a45e38bb0e2a0fe98b7cbb9a8762c82.png)
, тоже УСЛОВИЕ 1 соблюдается
![${G_{4 \times 4}} \cdot G_{4 \times 4}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&0&0&0\\0&{18}&0&0\\0&0&{86}&0\\0&0&0&{18}\end{array}} \right]$ ${G_{4 \times 4}} \cdot G_{4 \times 4}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{86}&0&0&0\\0&{18}&0&0\\0&0&{86}&0\\0&0&0&{18}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/2/2122ef7fd190451b40f8638ac4d7162782.png)
Еще одна матрица
![${G_{4*4n1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}}\\{x_2^*}&{ - x_1^*}&{x_4^*}&{ - x_3^*}\\{x_3^*}&{x_4^*}&{ - x_1^*}&{ - x_2^*}\\{{x_4}}&{ - {x_3}}&{ - {x_2}}&{{x_1}}\end{array}} \right]$ ${G_{4*4n1}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1}}&{{x_2}}&{{x_3}}&{{x_4}}\\{x_2^*}&{ - x_1^*}&{x_4^*}&{ - x_3^*}\\{x_3^*}&{x_4^*}&{ - x_1^*}&{ - x_2^*}\\{{x_4}}&{ - {x_3}}&{ - {x_2}}&{{x_1}}\end{array}} \right]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/1/2/c12eb4df5b47f1573e7b551432b45fbe82.png)
,
УСЛОВИЕ 1 не соблюдается...
![${G_{4*4n1}} \cdot G_{4*4n1}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{104}&0&0&{ - 50}\\0&{104}&{50}&0\\0&{50}&{104}&0\\{ - 50}&0&0&{104}\end{array}} \right]$ ${G_{4*4n1}} \cdot G_{4*4n1}^H = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{104}&0&0&{ - 50}\\0&{104}&{50}&0\\0&{50}&{104}&0\\{ - 50}&0&0&{104}\end{array}} \right]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/1/0/210f58f7b10c06c2509e288a89e8be5182.png)
А вот в результате что получили
![Изображение](http://savepic.ru/7327715.png)
Немного ошибся в обозначениях..., вот заметил. На рисунке зеленой линией приводиться результат при использовании матрицы
![${G_{4*4n1}}$ ${G_{4*4n1}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/3/ea3fcb55563408c88a8b51e04c8334f882.png)
, а красной
![${G_{4 \times 4}}$ ${G_{4 \times 4}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/d/2bd0fee820e0a8a5df204ee2e8794d1a82.png)
.
Выходит, что при применении 4 антенн на передающей стороне и матрицы
![${G_{4 \times 4}}$ ${G_{4 \times 4}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/d/2bd0fee820e0a8a5df204ee2e8794d1a82.png)
мы получили те же результаты, что и при применении 2 антенн на передачи и матрицы
![${G_2}$ ${G_2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60dac8af5e3a4f8aa01db2bd1252ed582.png)
..., хотя обе удовлетворяют
УСЛОВИЮ 1. Выходит в данном случае увеличение числа передающих антенн не приводит к эффективности передачи информации.
Но в тоже время, при применении матрицы не удовлетворяющей
УСЛОВИЮ 1 ![${G_{4*4n1}}$ ${G_{4*4n1}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/3/ea3fcb55563408c88a8b51e04c8334f882.png)
, мы получили результаты значительно лучшие!
Моделирование с использованием матрицы
![${G_{4 \times 8}}$ ${G_{4 \times 8}}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/2/8/d28ca0b3ae2cdf9dc56807b652f2252e82.png)
не проводилось.
Из вышеизложенного можно сделать вывод, что нам необходимо найти матрицу 4*4, применение которой улучшило бы эффективность передачи информации по сравнению с
![${G_2}$ ${G_2}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/6/0/f60dac8af5e3a4f8aa01db2bd1252ed582.png)
и с неортогональной матрицей
![${G_{4*4n1}}$ ${G_{4*4n1}}$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/a/3/ea3fcb55563408c88a8b51e04c8334f882.png)
.
Что вы уважаемые форумчане можете сказать по данной информации? Буду очень раз всем мнениям по данной теме!