Подмножества

[Aritaborian]

Bonaqua, это всё элементарно, нужно лишь чуточку внимательности. В поле ответа ставите курсор там, где хотите видеть цитату. Выделяете цитируемый текст, нажимаете кнопку . В результате в поле ответа получаете искомое. Но теперь нужна ещё капелька внимательности. Вы должны понимать, что в поле ответа — ваш текст, а что — чужие цитаты. И не перемешивать.
Lia, я нормально ответил?

[Lia]

Aritaborian
Вполне. Спасибо. Может, Ваше разъяснение доходчивей.

[Bonaqua]

Aritaborian в сообщении #881453 писал(а):

Bonaqua, это всё элементарно, нужно лишь чуточку внимательности.

Это все чушь. Но раз надо, так надо.

[Aritaborian]

Bonaqua в сообщении #881457 писал(а):

Это все чушь.

Не кипятитесь, пожалуйста ;-) Это не чушь, это очевидные казалось бы правила общения на любом интернет-форуме. Вы ведь не хотите, чтобы другие участники дискуссии перевирали ваши слова?
Нужно быть внимательным. Прежде всего. (Это, как я уже, впрочем, говорил, относится и к математике. Если вы не будете воспитывать в себе эту самую, блин, внимательность, вы не подниметесь выше четвёртого класса средней школы.)

[Bonaqua]

Aritaborian в сообщении #881467 писал(а):

Нужно быть внимательным.

Хорошо, босс.
Есть что-то еще интересно или через что я до сих пор не перепрыгнул?

[Aritaborian]

Bonaqua в сообщении #881476 писал(а):

Хорошо, босс. :wink:

Не надо ёрничать. Я вам не босс.

Bonaqua в сообщении #881476 писал(а):

Есть что-то еще интересно или через что я до сих пор не перепрыгнул?

Да. Всё, что мы обсуждали в этой теме. Проработайте снова все задачи, которые мы здесь обсуждали. Дальше пока не идём.
Bonaqua, я серьёзно говорю.

[Nemiroff]

Bonaqua в сообщении #881397 писал(а):

Плюс, я бы хотел вернуться к прошлому заданию: почему записи 3 и 4 не исключают друг друга?

Смотрите, запись $A\subseteq B$ означает, что $A$ является собственным или несобственным подмножеством $B$. Запись $A\subsetneq B$ означает, что $A$ является собственным подмножеством $B$.
Поэтому из $A\subsetneq B$ следует $A\subseteq B$. И они не противоречат друг другу.

[Mathusic]

Ну вот посмотрите...

Bonaqua в сообщении #881412 писал(а):

Да нет, я правда понимаю. Если под операцией пересечения множеств понимать множество, которому принадлежат те и только те элементы, которые одновременно принадлежат всем данным множествам, то единственным таким множеством послужит пустое множество.

Например, так: $A_k=(-\frac1k,\frac1k)$. Вопрос: чему равно $\mathcal{A} = \bigcap \limits_{k=1}^{\infty}A_k=A_1\cap A_2 \cap \dots $
Чему будет равно $\mathcal{A}$, если
а) $A_k=(-1-\frac1k,1+\frac1k)$
б) $A_k=(0,\frac1k)$ ?

(Оффтоп)

Ух. Прочитал тему как психоделический детективчик. Хорошая тема

[Bonaqua]

Итак, разобрав все нами написанное, я могу теперь полностью и с уверенной душой, решить задачу представленную Xaositect’ом (за что ему отдельное спасибо)/

1) Верно. Так как $\varnothing \subseteq A \to \varnothing \subseteq \varnothing$. Точно также объясняется 5) пункт, поскольку там рассматриваются, исходя из определения подмножества, пустое множество как элемент.
2) Так как $\varnothing \subseteq \varnothing$ , но $A \subsetneq B \Leftrightarrow A \subseteq B , A \ne B$. Следовательно, не выполняется необходимое условие являться данному утверждению собственным подмножеством. Так, исходя из этого, исключается 6) пункт.
3) Так как необходимое и достаточное условие подмножества $(A \subseteq B \Rightarrow \forall x|x \in A \Rightarrow x \in B)$ является здесь удовлетворительным. Таким образом, исключаются пункты 7) и, следовательно, 8)
4) Верно. Исходя из пункта 2) необходимое и достаточное условие собственного подмножества является здесь удовлетворительным.

--

Хотел бы спросить еще несколько моментов:

1) Являются ли законы де Моргана принципом двойственности? Если нет, то чем они отличаются?

2) Допустим, имеется множество $X = \left\{ 1,3,5,7 \right\} и Y = \left\{ 2,4,6 \right\}$.
Если $X \cup Y = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\}$ , то, как данный факт правильней всего записать через оператор $\bigcup$ ?

3) Как в теории множеств символьно помечается нетривиальное множество ($A \varsubsetneq B , A \ne \varnothing$)

[Bonaqua]

Mathusic в сообщении #881518 писал(а):

Например

Ноль в пересечении есть? А не ноль?

[arseniiv]

Bonaqua в сообщении #881727 писал(а):

2) Допустим, имеется множество $X = \left\{ 1,3,5,7 \right\}$ и $Y = \left\{ 2,4,6 \right\}$.
Если $X \cup Y = \left\{ 1,2,3,4,5,6,7 \right\}$ , то, как данный факт правильней всего записать через оператор \bigcup ?

$X\cap Y = \varnothing \Rightarrow |X| + |Y| = |X\cup Y|$, хотя это специальный случай $|X\cup Y| + |X\cap Y| = |X| + |Y|$.

Bonaqua в сообщении #881727 писал(а):

3) Как в теории множеств символьно помечается нетривиальное множество (A \varsubsetneq B , A \ne \varnothing)

Общеупотребительного обозначения такого отношения нет.

[Munin]

Bonaqua в сообщении #881807 писал(а):

Ноль в пересечении есть? А не ноль?

Это к вам вопросы :-)

[Aritaborian]

Bonaqua в сообщении #881807 писал(а):

Ноль в пересечении есть?

Слышь, ноль есть? Нет? А если найду? ;-D Bonaqua, сначала приведите хоть какие-нибудь собственные соображения по этому поводу.

[arseniiv]

Кстати, ещё (раз никто не спросил):

Bonaqua в сообщении #881727 писал(а):

1) Являются ли законы де Моргана принципом двойственности? Если нет, то чем они отличаются?

Которые $A\setminus(B\cup C) = (A\setminus B)\cap(A\setminus C)$ и другой, или которые $\neg(A\vee B) = \neg A\wedge\neg B$ и другой? (Первый получается из второго, конечно, как и другие свойства $\cup,\cap$ из свойств $\vee,\wedge$, но всё равно.) И каким принципом двойственности (их, вроде, много всяких)?

[Bonaqua]

arseniiv в сообщении #881817 писал(а):

$X\cap Y = \varnothing \Rightarrow |X| + |Y| = |X\cup Y|$, хотя это специальный случай $|X\cup Y| + |X\cap Y| = |X| + |Y|$.

А через оператор вида \bigcup\limits_{a}^{b} ? Так X \cup Y=A_{i}
\bigcup\limits_{i=1}^{7}A_{i}

arseniiv в сообщении #881880 писал(а):

Которые $A\setminus(B\cup C) = (A\setminus B)\cap(A\setminus C)$ и другой, или которые $\neg(A\vee B) = \neg A\wedge\neg B$ и другой

Который первое. Просто у Никольского законы де Моргана названы как принцип двойственности.

Цитата:

Bonaqua, сначала приведите хоть какие-нибудь собственные соображения по этому поводу.

Единственная мое предположение, это что множество $A$ содержит единственное действительное число $0$