Рекурсивное док-во Случая 2 ВТФ для любого простого p > 2

[ananova]

(1)

$$X^3+Y^3=Z^3$$

$$(X,Y)=1;(Y,Z)=1;(X,Z)=1; (Z, 3^k)=3^k$$

(2.1)

$$Y=f(X,y_0)=f(3^{3k}, X, y_1,j)=(3^{3k}-1)X+3^{3k}y_1=(3^{2\cdot 3k}-1)X+3^{2\cdot 3k}y_2=\ldots=(3^{i\cdot3k}-1)X+3^{i\cdot3k}y_j=$

(2.2)

$$f(X,y_1)=f(3^{3k}, X, y_2,(j+1))=(3^{3k}-1)X+3^{3k}y_2=(3^{2\cdot 3k}-1)X+3^{2\cdot 3k}y_3=\ldots=(3^{(i+1)\cdot3k}-1)X+3^{(i+1)\cdot3k}y_{j+1}=$

(2.3)

$$f(X,y_2)=f(3^{3k}, X, y_3,(j+2))=(3^{3k}-1)X+3^{3k}y_3=(3^{2\cdot 3k}-1)X+3^{2\cdot 3k}y_4=\ldots=(3^{(i+2)\cdot3k}-1)X+3^{(i+2)\cdot3k}y_{j+2}=$

$$\ldots$$

$$\ldots$$

$$\ldots$$

(3.1)

$$X^3+f(3^{3k},X,y_i)^3=3^{3k}z^3$$

(3.2)

$$(X+Y,3^{(3k-1)})=3^{(3k-1)}$$

(3.3)

$$(X+Y,3^{3k})=1$$

(4.1)

$$X^3+f(X,y_0)^3=3^{3k}z^3$$

(4.2)

$$X^3+f(3^{3k}, X, y_1,j=1)^3=3^{3k}z^3$$

(4.3)

$$(X+Y)=X+f(X,y_0,j=1)=X+(3^{3k}-1)X+3^{3k}y_1=3^{3k}X+3^{3k}y_1=3^{3k}(X+y_1)$$

(4.4)

$$(X+Y,3^{3k}(X+y_1))=3^{3k}$$

$$(4.4) \neq (3.3)$$

[Феликс Шмидель]

Ваше доказательство, уважаемый ananova, очень трудно понять, потому что Вы ничего не объясняете.

Например, функция $f$ - это функция от 2-х аргументов или от 4-ёх?
Прежде, чем писать какую-либо формулу, нужно перечислить входящие в неё переменные, параметры, строго определить функции и другие нуждающиеся в определении выражения.
Желательно объяснить постановку задачи, условия, идею доказательства и формулы на обычном языке.

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #793383 писал(а):

Ваше доказательство, уважаемый ananova, очень трудно понять, потому что Вы ничего не объясняете.

Например, функция $f$ - это функция от 2-х аргументов или от 4-ёх?

Уважаемый, Феликс Шмидель, мои объяснения могут еще больше Вас запутать, поэтому я попробую ответить на этот вопрос только. $f$ - это функция определяющая значение $Y$. Все значения функции равны между собой. Любые параметры, которые определены в уравнении (2.1) подходят, чтобы заменить $Y$ на новый вариант записи $Y$. Для индексации и удобства ипользуются параметры $i$ и $j$. Так удобнее выбирать любую из записей рекурсии.

Несколько сумбурно и туманно (в разных постах) можно ознакомиться еще в этой теме - http://dxdy.ru/topic78054.html

Имеет смысл добавить, что используется поиск противоречия (для Случая 2), известного из соотношений Барлоу (см.Рибенбойма), и записанного в уравнениях (3.2) и (3.3)

Могу еще добавить, что я где-то ошибаюсь... ;)

-- Ср ноя 27, 2013 15:53:00 --

Вот уже нашел где, вместо $3k$, надо использовать $(3k-1)$ в уравнениях (2.1) - (2.3)

(1)

$$X^3+Y^3=Z^3$$

(1.1)

$$(X,Y)=1;(Y,Z)=1;(X,Z)=1; (Z, 3^k)=3^k$$

$$(1.1)\Rightarrow (2.1), \ldots$$

$f$ - это функция определяющая значение $Y$. Все значения функции равны между собой. Любые параметры, которые определены в уравнении (2.1) подходят, чтобы заменить $Y$ на новый вариант записи $Y$. Для индексации и удобства ипользуются параметры $i$ и $j$. Так удобнее выбирать любую из записей рекурсии.

(2.1)

$Y=f(X,y_0)=f(3^{3k}, X, y_1,j)=$

$$=(3^{3k-1}-1)X+3^{3k-1}y_1=(3^{2\cdot (3k-1)}-1)X+3^{2\cdot (3k-1)}y_2=\ldots=(3^{2i\cdot(3k-1)}-1)X+3^{2i\cdot(3k-1)}y_j=$$

(2.2)

$f(X,y_1)=f(3^{3k}, X, y_2,(j+1))=$

$$=(3^{3k-1}-1)X+3^{3k-1}y_2=(3^{2\cdot (3k-1)}-1)X+3^{2\cdot (3k-1)}y_3=\ldots=(3^{2(i+1)\cdot(3k-1)}-1)X+3^{2(i+1)\cdot(3k-1)}y_{j+1}=$$

(2.3)

$f(X,y_2)=f(3^{3k}, X, y_3,(j+2))=$

$$=(3^{3k-1}-1)X+3^{3k-1}y_3=(3^{2\cdot (3k-1)}-1)X+3^{2\cdot (3k-1)}y_4=\ldots=(3^{2(i+2)\cdot(3k-1)}-1)X+3^{2(i+2)\cdot(3k-1)}y_{j+2}=$$

$$\ldots$$

$$\ldots$$

$$\ldots$$

(3.1)

$$X^3+f(3^{3k},X,y_i)^3=3^{3k}z^3$$

Используется поиск противоречия (для Случая 2), известного из соотношений Барлоу (см.Рибенбойма), и записанного в уравнениях (3.2) и (3.3)

(3.2)

$$(X+Y,3^{(3k-1)})=3^{(3k-1)}$$

(3.3)

$$(X+Y,3^{3k})=1$$

(4.1)

$$X^3+f(X,y_0)^3=3^{3k}z^3$$

(4.2.1)

$$X^3+f(3^{3k}, X, y_1,j=1)^3=3^{3k}z^3$$

(4.2.2)

$$X^3+f(3^{3k}, X, y_2,j=1)^3=3^{3k}z^3$$

$(2.1)\Rightarrow(4.3) \Rightarrow(4.3.1) \Rightarrow(4.4)$
(4.3)

$$(X+Y)=X+f(X,y_0,j=1)=$$

$$=X+(3^{3k-1}-1)X+3^{3k-1}y_1=3^{3k-1}X+3^{3k-1}y_1=3^{3k-1}(X+y_1)=3^{2\cdot (3k-1)}(X+y_2)$$

(4.3.1)

$$(3^{2\cdot (3k-1)}(X+y_2), 3^{3k}(X+y_2))= 3^{3k}(X+y_2)$$

(4.4)

$$(X+Y,3^{3k}(X+y_2))=3^{3k}$$

$$(4.4) \neq (3.3)$$

(Оффтоп)

PS: Не отвечайте слишком быстро - т.к. могу вносить исправления в ходе перепроверки.

[ananova]

$(2.1)\Rightarrow(4.1) \Rightarrow(4.2.1) \Rightarrow(4.2.2)$

Вроде как все подправил..

[Феликс Шмидель]

Цитата:

Пусть $y=8x+9a =(3^2-1)x+3^2a$ для $n=3$. Где a - целое число и может принимать отрицательные значения.

Тогда уравнение $x^3+y^3=z^3$ можно переписать следующем виде:

$$x^3 +((3^2-1)x+3^2a)^3=(3^2x+3^2a)((3^2x+3^2a)((3^2-3)x+9a)+3x^2)=z^3$$

или в более полном виде:

$$x^3 +((3^{2k}-1)x+3^{2k}a)^3=(3^{2k}x+3^{2k}a)((3^{2k}x+3^{2k}a)((3^{2k}-3)x+3^{2k}a)+3x^2)=z^3$$

Почему Вы думаете, что это равенство верно для любого целого положительного числа $k$?

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #793427 писал(а):

Цитата:

Пусть $y=8x+9a =(3^2-1)x+3^2a$ для $n=3$. Где a - целое число и может принимать отрицательные значения.

Тогда уравнение $x^3+y^3=z^3$ можно переписать следующем виде:

$$x^3 +((3^2-1)x+3^2a)^3=(3^2x+3^2a)((3^2x+3^2a)((3^2-3)x+9a)+3x^2)=z^3$$

или в более полном виде:

$$x^3 +((3^{2k}-1)x+3^{2k}a)^3=(3^{2k}x+3^{2k}a)((3^{2k}x+3^{2k}a)((3^{2k}-3)x+3^{2k}a)+3x^2)=z^3$$

Почему Вы думаете, что это равенство верно для любого целого положительного числа $k$?

В указанной формуле я ошибся с множителями.. Вот такая запись будет правильной (после долгих раздумий):

$$x^3 +((3^2-1)x+3^2a)^3=(3^2x+3^2a)((3^2x+3^2a)((3^2-3)x+9a)+3x^2)=z^3$$

$$x^3 +((3^{3k-1}-1)x+3^{3k-1}a)^3=(3^{2\cdot(3k-1)}x+3^{2\cdot(3k-1)}a)((3^{2\cdot(3k-1)}x+3^{2\cdot(3k-1)}a)(\ldots)+3x^2)=z^3$$

Мне следует еще добавить какие-то объяснения и доказательства, но боюсь наговорить много глупостей, поэтому соберусь мыслями и напишу.

[Феликс Шмидель]

ananova в сообщении #793439 писал(а):

В указанной формуле я ошибся с множителями.. Вот такая запись будет правильной:

$$x^3 +((3^2-1)x+3^2a)^3=(3^2x+3^2a)((3^2x+3^2a)((3^2-3)x+9a)+3x^2)=z^3$$

$$x^3 +((3^{3k-1}-1)x+3^{3k-1}a)^3=(3^{2\cdot(3k-1)}x+3^{2\cdot(3k-1)}a)((3^{2\cdot(3k-1)}x+3^{2\cdot(3k-1)}a)(\ldots)+3x^2)=z^3$$

Странно: при $k=1$, $3^{3k-1}=3^2$, а $3^{2\cdot(3k-1)}=3^4$, а в первой формуле не так.

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #793442 писал(а):

Странно: при $k=1$, $3^{3k-1}=3^2$, а $3^{2\cdot(3k-1)}=3^4$, а в первой формуле не так.

Спасибо и извините, что такие ляпы.
Мне надо немного отдохнуть.. Сейчас поправлю..

$$x^3 +((3^{3k-1}-1)x+3^{3k-1}a)^3=(3^{3k-1}x+3^{3k-1}a)((3^{3k-1}x+3^{3k-1}a)(\ldots)+3x^2)=z^3$$

Поправил... По-моему верно
Утром еще раз все перечитаю..

[Феликс Шмидель]

Скажите, когда будет верно.
И желательно, чтобы Вы не просто сказали, а объяснили почему верно (доказали).

[ananova]

Феликс Шмидель в сообщении #793450 писал(а):

Скажите, когда будет верно.
И желательно, чтобы Вы не просто сказали, а объяснили почему верно (доказали).

Легко ))

(Оффтоп)

Постараюсь

[ananova]

Я нашел "дырку" в этом подходе. Пока не исследовал ее, поэтому пока беру тайм-аут на неопределенное время по данной теме.

Что касается устранения ошибок, которые бросились в глаза специалистам, то исправляю их тут:

Феликс Шмидель в сообщении #793442 писал(а):

$$x^3 +((3^2-1)x+3^2a)^3=(3^2x+3^2a)((3^2x+3^2a)((3^2-3)x+9a)+3x^2)=z^3$$

$$x^3 +((3^{3k-1}-1)x+3^{3k-1}a)^3=(3^{2\cdot(3k-1)}x+3^{2\cdot(3k-1)}a)((3^{2\cdot(3k-1)}x+3^{2\cdot(3k-1)}a)(\ldots)+3x^2)=z^3$$

Для проверки использовал подстановку $y=(3^2-1)x+3^2a$ в уравнение, которое уже проверялось:

ananova в сообщении #786619 писал(а):

Для $p=3$:

$$x^3+y^3=(x+y)((x+y)(y-2 x)+3x^2)$$

После подстановки, получил такой результат:

$$x^3 +((3^2-1)x+3^2a)^3=(3^2x+3^2a)((3^2x+3^2a)((3^2-3)x+9a)+3x^2)=z^3$$

Уточняю правильное написание уравнения (после подстановки $y=(3^{3k-1}-1)x+3^{3k-1}a$ в уже проверенное уравнение):

$$x^3 +((3^{3k-1}-1)x+3^{3k-1}a)^3=(3^{3k-1}x+3^{3k-1}a)((3^{3k-1}x+3^{3k-1}a)((3^{3k-1}-3)x+3^{3k-1}a)+3x^2)=z^3$$

[lasta]

ananova в сообщении #793386 писал(а):

$f$ - это функция определяющая значение $Y$. Все значения функции равны между собой.

Уважаемый ananova !
Рекурсия идет изменением показателя. То есть нелинейная операция. Поясните, как при нелинейном изменении коэффициентов получаются указанные равенства при рациональных числах?

[ananova]

lasta в сообщении #881712 писал(а):

ananova в сообщении #793386 писал(а):

$f$ - это функция определяющая значение $Y$. Все значения функции равны между собой.

Уважаемый ananova !
Рекурсия идет изменением показателя. То есть нелинейная операция. Поясните, как при нелинейном изменении коэффициентов получаются указанные равенства при рациональных числах?

При рациональных числах равенства не получаются. Они получаются при действительных числах.

[lasta]

ananova в сообщении #793386 писал(а):

(4.4)

$$(X+Y,3^{3k}(X+y_2))=3^{3k}$$

$$(4.4) \neq (3.3)$$

Тогда $3^{3k}$ создан операциями над действительными числами, допускающими создание произвольных коэффициентов, поэтому существует ли указанное противоречие?

$$(4.4) \neq (3.3)$$

[ananova]

После некоторых раздумий я пришел к выводу, что никаких противоречий нет, т.к. предлагаемые рекурсивные подстановки приводят к тождественным вариантам исходного уравнения.

Эти варианты очень удобны, для последующих попыток доказательства Случая 2 ВТФ, т.к. на каждом шаге тождественного преобразования увеличивают показатель степени множителя $3$, при проведении попытки доказательства для случая n=3 (или $p$, для общего случая).

Возможно, Вы разберетесь самостоятельно и найдете что-то интересное, что я просмотрел.