Рекурсивное док-во Случая 2 ВТФ для любого простого p > 2

[ananova]

Чтобы проще было разобраться рассмотрим теорему Пифагора с условием, что $z$ делится на 2.
(1)

$$y^2+x^2=z^2$$

Первый шаг рекурсии: $y=2y_2+(2-1)x$. Тогда
(2)

$$(2y_2+x)^2+x^2=z^2$$

(3)

$$2^2(y_2+x)y_2=z^2$$

Второй шаг рекурсии: $y=2^2y_3+(2^2-1)x$.
(4)

$$2^3(y_3+x)(2y_3-x)=z^2$$

Третий шаг рекурсии:$y=2^3y_4+(2^3-1)x$
(5)

$$2^4(y_4+x)(2^2y_4-(2^2-1)x)=z^2$$

В общем, $y$ не меняет значение, меняются только коэффициенты в слагаемых:
(6)

$$y=2y_2+x=2^2y_3+(2^2-1)x=2^3y_4+(2^3-1)x=$$

Таким образом, можно рассматривать "Случай 2" для уравнения Пифагора, c целочисленными решениями. Найдете решение для уравнения c $y_i$ и получите решение общего уравнения (1)

[ananova]

Переписываю все заново.. перепутал переменные..

(Оффтоп)

Извиняюсь, если кого-то ввел в заблуждение. Хотел как лучше, а получилось - как всегда.

Чтобы проще было разобраться рассмотрим теорему Пифагора с условием, что $y$ делится на 2.
(1)

$$y^2+x^2=z^2$$

(1.1)

$$y^2=z^2-x^2=(z+x)(z-x)$$

Первый шаг рекурсии: $z=2z_2+(2-1)x$. Тогда
(2)

$$y^2=(2z_2+(2-1)x)^2-x^2$$

(3)

$$y^2=2^2(z_2+x)z_2$$

Второй шаг рекурсии: $z=2^2z_3+(2^2-1)x$
(4)

$$y^2=2^3(z_3+x)(2z_3-x)$$

Третий шаг рекурсии: $z=2^3z_4+(2^3-1)x$

(5)

$$y^2=2^4(z_4+x)(2^2z_4-(2^2-1)x)$$

В общем, $z$ не меняет значение, меняются только коэффициенты в слагаемых:

$$z=2z_2+x=2^2z_3+(2^2-1)x=2^3z_4+(2^3-1)x=$$

Таким образом, можно рассматривать "Случай 2" для уравнения Пифагора, c целочисленными решениями. Найдете решение для уравнения c $z_i$ и получите решение общего уравнения (1)

[Феликс Шмидель]

Исправьте, пожалуйста: (4) $y^2=2^3(z_3+x)(2z_3+x)$, (5) $y^2=2^4(z_4+x)(2^2z_4+(2^2-1)x)$.

[ananova]

Благодарю, за поправки.

(Оффтоп)

Учитывая, что старый текст закрыт для корректировки, продублирую текст и исправлением.

Чтобы проще было разобраться рассмотрим теорему Пифагора с условием, что $y$ делится на 2.

(1)

$$y^2+x^2=z^2$$

(1.1)

$$y^2=z^2-x^2=(z+x)(z-x)$$

Первый шаг рекурсии: $z=2z_2+(2-1)x$. Тогда

(2)

$$y^2=(2z_2+(2-1)x)^2-x^2$$

(3)

$$y^2=2^2(z_2+x)z_2$$

Второй шаг рекурсии: $z=2^2z_3+(2^2-1)x$
(4)

$$y^2=2^3(z_3+x)(2z_3+x)$$

Третий шаг рекурсии: $z=2^3z_4+(2^3-1)x$

(5)

$$y^2=2^4(z_4+x)(2^2z_4+(2^2-1)x)$$

В общем, $z$ не меняет значение, меняются только коэффициенты в слагаемых:

$$z=2z_2+x=2^2z_3+(2^2-1)x=2^3z_4+(2^3-1)x=$$

Таким образом, можно рассматривать "Случай 2" для уравнения Пифагора, c целочисленными решениями. Найдете решение для уравнения c $z_i$ и получите решение общего уравнения (1)

[niknegodin]

Вы никогда не задумывались над тем, что если теорема Ферма доказана для третьей степени, то это означает, что она вообще доказана.
А ведь это на самом деле так и есть.
Таким образом, впервые эту теоремы доказал Эйлер еще в 1770 году.

[Deggial]

niknegodin, предупреждение за размещение большого количества одного и того же бессодержательного сообщения. Все дубли, кроме одного, удалены.
И замечание за попытку захвата темы.