Дифф. уравнение в картинках

[Алексей К.]

Случилось такое дифф. уравнение:

$$y^\prime_x=F(x)-\frac{\sin y(x)}{N},\quad y(0)=y_0,\eqno(2)$$

(отредактировано, ур. (1) убрано --- АК).

Особо интересны случаи:
(А) $F(x)$ --- периодическая функция;
(Б) $|y(x)|\le\pi/2$;

В следующей иллюстрации чёрный график, прижавшийся к оси абсцисс --- заданная функция $F(x)$ (её период обозначен $L$),
три цветных --- три решения с различными начальными условиями $y(0)=y_0$.


Рис. 1.

Они очень быстро сходятся к некой асимптотически-периодической функции,
также являющейся решением.
При некотором $y_0$ на эту функцию можно попасть сразу. Это решение показано точечным графиком.

Ещё два примера, с $F(x)$ кусочно-постоянной...


Рис. 2.

...и пилообразной:


Рис. 3.

Не является исключением и случай $F(x)=\operatorname{const}$ (уравнение легко интегрируется):


Рис. 4.

Хотелось бы убедиться/доказать, что
a) существует периодическое решение (период совпадает с $L$);
б) что остальные к нему сходятся;
в) выяснить условия на функцию $F(x)$ и константу $N$, при которых решения так себя ведут (видимо это $N|F(x)|<1$; уменьшением $N$ по отношению к $L$ можно добиться такого поведения).

Попытка разложить $F(x)$ в ряд Фурье, и в виде ряда искать $y(x)$ упёрлась в разложение $\sin y(x)$. Возможно, можно как-то выразить коэффициенты ряда $\sin y(x)$
через коэффициенты ряда $y(x)$? Вряд ли...

Отмечу, что подстановкой $u(x)=\tg\frac{y(x)}{2}$ из (2) делается уравнение Риккати.

Прошу подсказать, например, куда копать в теорию
(это вопрос вроде как более тонкий, чем устойчивость), в частности, существование периодических решений...

Вооружился Камке и Эльсгольцем (кроме студенческих задачек
дифф. уравнениями по жизни заниматься не приходилось).

[Brukvalub]

Извините, что я к Вам обращаюсь. Сами мы не местные (то есть этой тематикой я и близко никогда не интересовался), но в молодости любил подержать в руках разные умные книжки. Вот что осталось от воспоминаний молодости: Немыцкий В.В., Степанов В.В. — Качественная теория дифференциальных уравнений Коддингтон Э.А., Левинсон Н. — Теория обыкновенных дифференциальных уравнений
Хартман Обыкновенные дифференциальные уравнения. (её я в библиотеке не нашел) Во всех трех книгах есть главы, посвященные строению периодических решений. Еще можно порыться в обзорах потеории динамических систем, например: Арнольд В.И., Ильяшенко Ю.С., Аносов и др. — Динамические системы-1: Книга 1: Обыкновенные дифференциальные уравнения (на самом деле их гораздо больше: http://lib.mexmat.ru/allbooks.php?page=374&t=asc. Ну, и списки литературы в конце этих обзоров тоже могут помочь начать работать с задачей.

[ИСН]

Я тоже не знаток темы, однако вот очевидный факт (наверное, это и Вы замечали): два любые решения уравнения (2), с учётом указанного ограничения на $|y(x)|$ должны сходиться друг к другу, причём быстро (экспоненциально), ибо их разность удовлетворяет понятно какому диффуру. В том числе любое решение должно сходиться с самим собой, сдвинутым на период. А уж следует ли из этого наличие периодического решения - - -...

[Алексей К.]

Ничего мне не очевидно, ничего не заметил, и пока НЕпонятно какому диффуру разность удовлетворяет... Я просто не умею смотреть на диффуры. Надо наверное, пойти пообедать (в библиотеку я уже сходил...); за это время или просветление снизойдёт, или разжуют сей момент.

Ещё одна картинка:


Рис. 5.

В нижнем фрагменте я их всех загнал в $[-\pi/2,+\pi/2]$, уменьшив $N$...

[ИСН]

Ах ты чёрт, диффур для разности не выходит красиво, а я перепутал синус разности и разность синусов, что не есть гуд.
Говоря "два решения должны сходиться друг к другу экспоненциально", я имел в виду банальную вещь - что для близких $y_1(x)$, $y_2(x)$, которые оба $y^\prime_x=F(x)-\frac{\sin y(x)}{N}$, их разность $\alpha(x)=y_1(x)-y_2(x)$ спадает как

$$\alpha^\prime_x=-\frac{\sin y_1(x)-\sin y_2(x)}{N} = -{2\sin {\alpha(x)\over 2}\cos{y_1(x)+y_2(x)\over 2}\over N}\simeq -\alpha(x)\cdot const$$

(это \simeq, думаю, можно загнать в строгие оценки - "не более..., не менее..., и в итоге всё равно все умрут").
А говоря "друг к другу", я держал за пазухой "с точностью до двух пи", потому что, глядя на диффур (2), понятно: если есть решение, то и прибавив $2\pi n$, получим решение. И вот у Вас на последней картинке как раз произошло перепрыгивание на такую, как бы сказать, другую ветку.

[Zai]

ИСН писал(а):

у Вас на последней картинке как раз произошло перепрыгивание на такую, как бы сказать, другую ветку.

Уравнение очень похоже на движение маятника в вязкой Стоксовой среде, когда ускорением можно пренебречь. Переход на другую ветку означает переворачивание маятника через верхнюю точку. По маятникам было много работ, может там что-то можно найдти.

[Алексей К.]

ИСН писал(а):

Ах ты чёрт, диффур для разности не выходит красиво, а я перепутал синус разности и разность синусов, что не есть гуд.

А я не перепутал... и подумал, что я глупый... Ну, с этим полегчало...

[PAV]

PAV:

Перемещено в корневой раздел по просьбе автора

[Алексей К.]

... Пусть $y(x)$ --- некоторое решение уравнения

$$y^\prime_x=F(x)-\frac{\sin y(x)}{N}\eqno(2)$$

с периодической функцией $F(x)$: $F(x+L)\equiv F(x)$.
Определим функцию $\Delta(x)=y(x+L)-y(x)$. Поскольку

$$\Delta^\prime_x (x)=y^\prime_x(x+L)-y^\prime_x(x)= -\frac{1}{N}[\sin y(x+L)-\sin y(x)],$$

$$\Delta^\prime_x (x)=\frac{-2}{N}\sin\frac{y(x+L)-\sin y(x)}{2}\cos\frac{y(x+L)+\sin y(x)}{2},$$

oна удовлетворяет уравнению

$$\Delta^\prime=\frac{-2}{N}\sin\frac{\Delta(x)}{2}\cos g(x),\eqno(3)$$

где $g(x)$ --- некая функция.

У уравнения (3) при любой $g(x)$ есть тривиальное решение $\Delta(x)\equiv 0$, соответствующее периодичности $y(x)$.
Что бы это значило?
На доказательство существования периодических решений у (2) этот фактик, видимо, не тянет.
Всего лишь --- "Уравнение (2) не против, чтобы некоторые его решения были периодическими"?

[worm2]

Я, как и Brukvalub, сам не местный Так что извините, если я тут полную чушь пишу, но попробую:

Упоминавшаяся Вами подстановка $u(x)=\tan\frac{y(x)}{2}$ приводит конкретно к такому уравнению (если нигде не наврал):

$u' = F(x) (u^2+1)/2 - u/N$.

Проинтегрировав от 0 до L, будем иметь:

$$u(L)-u(0) = 0.5 \int\limits_0^L \left( F(x) (u^2+1) - 2u/N \right) dx$$

.

Поскольку мы ищем периодические решения ($y$ периодическая тогда и только тогда, когда $u$ периодическая), то мы хотим, чтобы интеграл получился равным 0:

$$\int\limits_0^L \left( F(x) (u^2+1) - 2u/N \right) dx = 0$$

.

Преобразуем:

$$\int\limits_0^L \left( F(x) \left(u-\frac{1}{NF(x)}\right)^2\right) dx = \int\limits_0^L\left(\frac{1}{N^2F(x)}-F(x) \right) dx$$

.

Справа стоит интеграл от известной функции, т.е. константа, обозначим её через $C_1$.
Будем искать решение $u$ в виде:

$u(x) = \frac{1}{NF(x)}\pm\sqrt{\frac{P(x)}{F(x)}}$, где $P(x)$ --- некоторая периодическая функция, которую ещё нужно выбрать так, чтобы исходный дифур выполнялся...

Если я чушь порю, то жалко времени, чтобы доводить до конца. Но есть слабая надежда, что идя по этому пути, можно получить решение и, может быть даже условия его существования...

Не, похоже, это всё-таки чушь

[Алексей К.]

worm2 уже удалил это, но раньше писал(а):

Но мне кажется, что идя по этому пути, можно явно построить периодическое решение

Мне же кажется, что Вы его просто построили. В предыдущей версии, с константой $C_2$, которая вполне вычисляется (сейчас вместо неё $P(x)$, но я успел распечатать ). Невтерпёж досконально проверить своё первое впечатление, но надо как-то поприличнее отсидеть рабочий день. Может, Вы просто не знали, что уравнение Риккати в общем случае не разрешимо в квадратурах?

Большое спасибо, думаю.

(И сам я тоже молодец --- догадался попросить PAVа темку приподнять... )

Добавлено спустя 6 минут 56 секунд:

Ну да, я похоже поспешил интегральное равенство с дифференциальным отождествить, но может $P(x)$ и выручит...

[worm2]

Алексей К. писал(а):

Может, Вы просто не знали, что уравнение Риккати в общем случае не разрешимо в квадратурах?

Ну как сказать, ... чему-то где-то меня учили... Но теперь твёрдо знаю

Алексей К. писал(а):

Ну да, я похоже поспешил интегральное равенство с дифференциальным отождествить

Я тоже поначалу... Как жаль, а то у меня было ещё много хороших идей (c) анекдот
Например, такая:
Может быть, если u(x) поискать в виде 1/(NF(x)) + Q(F(x)), то можно попробовать выяснить условия существования такой Q(z) (не пытаясь найти для неё явное выражение)... Q(z) уже не обязана быть периодической...

[Алексей К.]

О существовании периодического решения.

1. Допустим, что решения уравнения $y^\prime_x=F(x)-\frac{\sin y(x)}{N}$ с начальными условиями $y(0)\in[-\pi/2,\pi/2]$ удалось втиснуть в эти границы: $y(x)\in(-\pi/2,\pi/2)$ при $x>0$.

2. Пусть есть два решения $y_{1,2}(x)$, $y_1(0)=a$, $y_2(0)=b$, $-\pi/2\le a< b\le\pi/2$.
Тогда их разность $\delta(x)=y_2(x)-y_1(x)$ подчиняется уравнению

$$\delta^\prime(x)=-\Frac{2}{N}\sin\frac{\delta(x)}{2}\cos\frac{y_1(x)+y_2(x)}{2},\qquad \delta(0)=b-a>0$$

и, поскольку $y(x)\in(-\pi/2,\pi/2)$, $\delta^\prime(x)<0$. То есть $\delta(x)$ монотонно убывает
($\delta(x)<\delta(0)\cdot {\mathrm e}^{-x/T}$, но это не важно).
Но $\delta(x)$ не может убывать до нуля. Это означало бы, что решения $y_{1,2}(x)$ совпали (и далее слились),
что противоречит всюду выполненому условию существования и единственности (с критерием Липшица, легко проверяемое). Стало быть, $\delta(x)>0$ ($\delta(x)\equiv 0$, если $a=b$), $0<\delta(L)<\delta(0)$ и отображение $y(0)\to y(L)$ непрерывно, однозначно и сжато [здесь я опять пользуюсь тем, что решения загнаны в интервал $(-\pi/2,\pi/2)$]. Поэтому у него есть единственная неподвижная точка $y_0$, дающая искомое периодическое решение. $\square$

Надёжно загнать решения в нужный интервал пока, однако, не удалось. Возможно, мы бы этого достигли, ограничив $N$ сверху --- $0<N<N_0$. Можно также наложить условие $N|F(x)|<1$, считая, например, что $F(x)$ представима в виде $\frac{1}{N}\sin\xi(x)$. Если это поможет... Ещё вариант --- почитать теоремы об оценках...

[Алексей К.]

Собственно, дифф. уравнение описывает простую жизненную ситуацию, вполне наглядную.
Любая домохозяйка скажет, что решения не выходят за пределы $[-90^\circ,90^\circ]$.



На картинке --- серая тропа, по которой идёт полицейский. Угол $\theta$ --- его направление движения.
На синей верёвке длины $N$ он тащит мешок с трупом, оставляющим красный след.
Труп раньше был крутым мафиози, поэтому к нему можно без сожаления относиться как к тяжёлой материальной точке.
Угол $\tau$ соответствует траектории трупа.
Угол $\nu=\theta-\tau$ и есть предмет изучаемого дифф. уравнения:

$$ \tau^\prime_s=\frac{\sin\left[\theta(s)-\tau(s)\right]}{N},$$

где $s$ --- длина дуги тропы.

Подстановка $\nu(s)=\theta(s)-\tau(s)$ приводит его к виду

$$ \nu^\prime_s=k(s)-\frac{\sin \nu(s)}{N}\qquad \left(\mbox{ранее записанному в виде} \quad y^\prime_x=F(x)-\frac{\sin y(x)}{N}\right),$$

где $k(s)=\theta^\prime_s$ --- известная кривизна тропы. Случай периодеской $k(s)$ и периодических решений уже не интересует, --- с ним я разобрался.

В районе вершины параболического участка тропы могло случиться, что угол $\nu$ достигнет $+90^\circ$ и мат. точка остановилась бы. Оттого, что радиус кривизны почти сравнялся с длиной верёвки. Укоротив верёвку, $N|k(s)|<1$, мы пройдём этот участок без остановки.

Собственно, интересует очевидная ситуация, когда тропа слабо искривлена, и поэтому верёвка всегда натянута, и поэтому угол $\nu$ всегда остаётся острым: $-\pi/2<\nu(s)<\pi/2$. Почему у меня самого не получается формально обосновать сей очевидный факт --- об этом я, наверное, спрошу на днях у своего терапевта.

Как же убедиться, что в хороших условиях угол $\nu(s)=\theta(s)-\tau(s)$ всегда остаётся острым? В дифф. уравнении это где-то сидит?

[Алексей К.]

Терапевт сказал: чо там думать?

$$ \nu^\prime_s=\frac{Nk(s)-\sin \nu(s)}{N}$$

Ежели $N|k(s)|<1$, то при $\nu=\pi/2-\varepsilon$ ($\varepsilon>0$) числитель отрицателен, производная отрицательна, и угол будет уменьшаться.
А при $\nu=-\pi/2+\varepsilon$ --- увеличиваться.

Думаю, он глубоко прав.