Случилось такое дифф. уравнение:
(отредактировано, ур. (1) убрано --- АК).Особо интересны случаи:
(А)

--- периодическая функция;
(Б)

;
В следующей иллюстрации чёрный график, прижавшийся к оси абсцисс --- заданная функция

(её период обозначен

),
три цветных --- три решения с различными начальными условиями

.

Рис. 1.
Они очень быстро сходятся к некой асимптотически-периодической функции,
также являющейся решением.
При некотором

на эту функцию можно попасть сразу. Это решение показано точечным графиком.
Ещё два примера, с

кусочно-постоянной...

Рис. 2.
...и пилообразной:

Рис. 3.
Не является исключением и случай

(уравнение легко интегрируется):

Рис. 4.
Хотелось бы убедиться/доказать, что
a) существует периодическое решение (период совпадает с

);
б) что остальные к нему сходятся;
в) выяснить условия на функцию

и константу

, при которых решения так себя ведут (видимо это

; уменьшением

по отношению к

можно добиться такого поведения).
Попытка разложить

в ряд Фурье, и в виде ряда искать

упёрлась в разложение

. Возможно, можно как-то выразить коэффициенты ряда

через коэффициенты ряда

? Вряд ли...
Отмечу, что подстановкой

из (2) делается уравнение Риккати.
Прошу подсказать, например, куда копать в теорию
(это вопрос вроде как более тонкий, чем устойчивость), в частности, существование периодических решений...
Вооружился Камке и Эльсгольцем (кроме студенческих задачек
дифф. уравнениями по жизни заниматься не приходилось).