Ряды 2

[champion12]

Есть вопросы по задачам, посмотрите, пожалуйста.

1) Исследовать сходимость ряда:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{2^n(n!)^2}{(2n^2+n+1)!}$

Признак раабе (главный вопрос -- можно ли так факториалы сокращать?):

$\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left(\dfrac{2^n(n!)^2}{(2n^2+n+1)!}\cdot \dfrac{(2(n+1)^2+n+2)!}{2^{n+1}((n+1)!)^2}-1\right)=$

$=\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left(\dfrac{1}{(2n^2+n+1)!}\cdot \dfrac{(2n^2+5n+4)!}{2(n+1)^2}-1\right)=$

$=\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left(\dfrac{1}{(2n^2+n+1)!}\cdot \dfrac{(2n^2+n+1+4n+3)!}{2(n+1)^2}-1\right)=???=$

$$=\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\left( \dfrac{(2n^2+n+2)\cdot (2n^2+n+3)\cdot (2n^2+n+4)...(2n^2+5n+4)}{2(n+1)^2}-1\right)=+\infty$$

Следовательно ряд сходится.

2) Найти область сходимости:

$\sum\limits_{n=2}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{n^2-1}\cdot \left(\dfrac{1-x}{1+x}\right)^n$

Тут смущает то, что область оказалась неограниченной.

Даламбер: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\left|\dfrac{1-x}{1+x}\right|<1$

$(0;+\infty)$ -- интервал сходимости

$[0;+\infty)$ -- область сходимости (в нуле сходится по лейбницу)

3) Исследовать сходимость, равномерную сходимость.

$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right),\;\;\;\alpha>0$

Я попробовал на абсолютную сходимость по предельному признаку сравнения с рядом $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right|$

При $\alpha\in(0;1) $ данный ряд сходится (даже равномерно) по вейештрассу:

$\left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{\sin(nx)}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right|\right \le \left|\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right|$

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right|$ При $\alpha\in(0;1) $ сходится по интегральному признаку.

Пока что не ясно -- как исследовать при $\alpha\ge 1$ на сходимость и как исследовать равномерную сходимость при $\alpha\ge 1$ ? Признак Вейештрасса или критерий коши? Нужно доказывать, что равномерной сходимости нет или то, что она есть?

Правда ли, что если ряд сходится равномерно на некотором множестве, то и поточечно он сходится на том же множестве?

[ewert]

champion12 в сообщении #880445 писал(а):

Признак раабе

Это просто издевательство. Ясно же, что факториал квадрата много больше, чем квадрат факториала (причём сильно-сильно много); тупо Даламбера и задействуйте.

[Otta]

1) Куды ж Вы Раабе, что, Даламбер уже не работает?
Раабе более чувствителен и для случаев деликатных.

champion12 в сообщении #880445 писал(а):

(главный вопрос -- можно ли так факториалы сокращать?)

А куда деваться.
2)

champion12 в сообщении #880445 писал(а):

Тут смущает то, что область оказалась неограниченной.

Имеет право.
3)

champion12 в сообщении #880445 писал(а):

Ряд $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{1}{n\cdot\ln^{\alpha}n}\right|$ При $\alpha\in(0;1) $ сходится по интегральному признаку.

Не верю (с).

[champion12]

Спасибо!

$\int\limits_1^\infty\dfrac{dx}{x\ln^{\alpha}x}=\int\limits_1^\infty\dfrac{d\ln x}{\ln^{\alpha}x}=\dfrac{(\ln x)^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\Bigg|_1^\infty=0$ ;

[ewert]

champion12 в сообщении #880463 писал(а):

$\int\limits_1^\infty\dfrac{dx}{x\ln^{\alpha}x}=\int\limits_1^\infty\dfrac{d\ln x}{\ln^{\alpha}x}=\dfrac{(\ln x)^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\Bigg|_1^\infty=0$ ;

Вы, во-первых, перестарались; а во-вторых: раз уж решили перестараться -- Вас не смущает, что интеграл от положительной функции равен нулю?...

[champion12]

Да, действительно.
3) Да, при $x=1$ будет ноль в знаменателе.

Ух, а тут в знаменателе ноль будет при $n=1$ в исходном логарифме, а значит ряд расходится и равномерно не сходится. А если бы там все-таки не с 1 суммирование, а с 2? То как поступить?

[Otta]

Считайте, что ряд задан с двух.
И разберитесь для начала с Вашим интегралом.

[ewert]

champion12 в сообщении #880473 писал(а):

А если бы там все-таки не с 1 суммирование, а с 2?

А тогда Вы должны категорически понимать, что там неважно, с чего начинается суммирование. Если Вас не устраивает поведение подынтегральной функции в каких-то особых точках -- смело зайдите за все эти точки вправо хоть на 100500, на сходимости или расходимости ряда это никак не отразится.

[champion12]

Otta в сообщении #880475 писал(а):

Считайте, что ряд задан с двух.
И разберитесь для начала с Вашим интегралом.

Наоборот, при $\alpha>1$ сходится. Верно?

$\int\limits_2^\infty\dfrac{dx}{x\ln^{\alpha}x}=\int\limits_2^\infty\dfrac{d\ln x}{\ln^{\alpha}x}=\dfrac{(\ln x)^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\Bigg|_2^\infty=\dfrac{1}{((\ln x)^{\alpha-1})(-\alpha+1)}\Bigg|_2^\infty=\dfrac{1}{(\ln 2)^{\alpha-1}(\alpha-1)}$

-- 26.06.2014, 21:42 --

ewert в сообщении #880477 писал(а):

А тогда Вы должны категорически понимать, что там неважно, с чего начинается суммирование. Если Вас не устраивает поведение подынтегральной функции в каких-то особых точках -- смело зайдите за все эти точки вправо хоть на 100500, на сходимости или расходимости ряда это никак не отразится.

Как не отразится, если какой-то член ряда не определен? Как при этом можно говорить о сходимости?

[Otta]

champion12 в сообщении #880484 писал(а):

Как не отразится, если какой-то член ряда не определен?

Просто некорректно составленное задание, к сходимости это не имеет отношения. ewert говорит о другом - на сходимость ряда первые его слагаемые (в любом конечном количестве), очевидно, не влияют.

champion12 в сообщении #880484 писал(а):

Верно?

Верно.

[champion12]

Спасибо. То есть при $\alpha>1$ исходный ряд сходится равномерно. А как быть при $\alpha\in(0;1]$? Как там исследовать сходимость и равномерную сходимость?

[Otta]

Понятия равномерной сходимости "просто так" нет. Она всегда привязана к множеству. Я не вижу у Вас в задании никакого множества, на котором предполагается проверять равномерную сходимость.

[champion12]

Otta в сообщении #880520 писал(а):

Понятия равномерной сходимости "просто так" нет. Она всегда привязана к множеству. Я не вижу у Вас в задании никакого множества, на котором предполагается проверять равномерную сходимость.

Да, действительно, множество $E(-\infty;+\infty)$

[Otta]

Ну и разберитесь, что из чего следует, какая сходимость из какой. Равномерная на множестве из поточечной там же или наоборот.

[champion12]

Otta в сообщении #880528 писал(а):

Ну и разберитесь, что из чего следует, какая сходимость из какой. Равномерная на множестве из поточечной там же или наоборот.

Если равномерно сходится, то поточечно -- тоже. Обратное -- неверно.
А как равномерную начать исследовать? Надо ее наличие или отсутствие доказывать?