Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[g______d]

mishafromusa в сообщении #880132 писал(а):

Но остальные надо оценить, тогда всё будет проще.

Физики редко когда задумываются о том, можно ли выкинуть следующий порядок малости, а просто берут и выкидывают. Главное – чтобы предыдущий порядок случайно не сократился.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #880130 писал(а):

Это и так понятно. Нарисовали секущую, стали сближать точки, что получилось?

Совсем не понятно, "стали сближать точки" -- это размахивание руками в воздухе, а двойной корень или оценка -- с этим можно работать.

-- 26.06.2014, 00:01 --

g______d в сообщении #880120 писал(а):

Не знаю, конечно, но у меня по Вашим рассказам сложилось впечатление, что это было больше как развлекательный курс, чем как серьёзный.

Именно так, и экзамена не было, задачки в классе обсудили кое какие по ходу дела...

-- 26.06.2014, 00:04 --

g______d в сообщении #880130 писал(а):

Ну Вы можете, наоборот, составить свой курс

Я тоже уже на пенсии.

-- 26.06.2014, 00:05 --

g______d в сообщении #880133 писал(а):

Физики редко когда задумываются о том, можно ли выкинуть следующий порядок малости, а просто берут и выкидывают. Главное – чтобы предыдущий порядок случайно не сократился.

Вот их и надо к порядку приучить. Вообще это нужно делать не сначала, а сначала просто действовать формально, вывести правила дифференцирования, неявного дифференцирования, синус по картинке, порешать задачки, а оценки потом.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #880134 писал(а):

Совсем не понятно, "стали сближать точки" -- это размахивание руками в воздухе, а двойной корень или оценка -- с этим можно работать.

Ну не знаю, кому как. Мне казалось, что я на уроках физики понимал, что касательная – это предел секущей, даже не зная слова "предел". А ещё в школьной геометрии была такая мозгоразрывающая вещь, как угол между касательной и хордой. До этого касательная вводилась как прямая, пересекающая окружность в одной точке, а чтобы понять вышеуказанную вещь, можно было воспользоваться теоремой о равенстве двух углов, опирающихся на равные дуги, и перейти к пределу, но для этого нужно было правильное определение касательной.

-- Ср, 25 июн 2014 21:07:34 --

mishafromusa в сообщении #880134 писал(а):

Вот их и надо к порядку приучить.

Тогда нужно не со школьников начинать :)

[mishafromusa]

g______d в сообщении #880135 писал(а):

можно было воспользоваться теоремой о равенстве двух углов, опирающихся на равные дуги, и перейти к пределу, но для этого нужно было правильное определение касательной.

Что-то это слишком сложно, просто по теореме Пифагора видно, что расстояние от окружности до касательной квадратично по расстоянию от точки на касательной до точки касания, вот и всё, липшицева оценка.

-- 26.06.2014, 00:23 --

g______d в сообщении #880135 писал(а):

Ну не знаю, кому как. Мне казалось, что я на уроках физики понимал, что касательная – это предел секущей, даже не зная слова "предел".

У всех пределами мозги засорены... По-английски я это назвал the church of limitology, вроде как эпсилонизм-дельтоизм.

-- 26.06.2014, 00:34 --

Вообще для многочленов всё очевидно, вся штука в том как обобщать, если сразу лезть в пределы -- сразу начинаются трудности, а если начать с липшицевых оценок, то очень просто всё, но нетривиально и интерсно. Т.е. это хороший способ начать с простого.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #880136 писал(а):

Вообще для многочленов всё очевидно, вся штука в том как обобщать, если сразу лезть в пределы -- сразу начинаются трудности, а если начать с липшицевых оценок, то очень просто всё, но нетривиально и интерсно. Т.е. это хороший способ начать с простого.

Для физиков я не очень понимаю, зачем обобщать что-то с полиномов. У них уже есть понятие скорости, интуитивное, и оно ближе всего к понятию предела. Пример с полиномами нужен только для того, чтобы научиться вычислять что-то, понятие о чём у них уже есть. Т. е. им не требуется постепенное расширение классов функций, у них уже есть понятие обычной производной или какая-то его замена. Какой-то точный класс функций, для которого всё работает, им не нужен.

[mishafromusa]

Понятие о скорости есть у всех, проблема в том, чтобы сделать это понятие полезным для вычислений.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #880153 писал(а):

Понятие о скорости есть у всех, проблема в том, чтобы сделать это понятие полезным для вычислений.

Вычислений чего? Свойства производной (произведение, композиция) все объясняются на пальцах. Производные элементарных функций – это не задача для физиков, их нужно просто знать. А большинство физических вычислений начинаются словами "рассмотрим достаточно малое $\Delta x$" или "$\Delta t$".

Кстати говоря, хорошим примером использования свойств производной являются лабораторные работы и вычисление погрешности; например, что при сложении складываются абсолютные погрешности, а при умножении относительные (если не говорить про средние квадратичные). Сложение относительных погрешностей – в чистом виде производная произведения.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880127 писал(а):

g______d в сообщении #880124 писал(а):

Можно просто написать, чему равно $\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}$

Разделить легче.

И то, и другое громоздко. Зато мгновенно всё выскакивает по индукции.

[g______d]

ewert в сообщении #880177 писал(а):

И то, и другое громоздко. Зато мгновенно всё выскакивает по индукции.

Да, если знать производную произведения (что, впрочем, в любом случае положено знать).

Но почему-то для $x^2$ всё равно хочется посчитать руками и показать.

[ewert]

g______d в сообщении #880182 писал(а):

Но почему-то для $x^2$ всё равно хочется посчитать руками и показать.

Почему бы и нет? Однако потом общий случай лучше всё-таки по индукции.

Тут только одна проблема: формулы лучше выводить, а не угадывать. Ну можно, скажем, рассмотреть отдельно не только вторую, но и третью степень, а потом уж и угадать.

Всё-таки бином Ньютона -- это не очень приятно; да и разложение на множители тоже.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #880136 писал(а):

У всех пределами мозги засорены... По-английски я это назвал the church of limitology

Лютер выискался

[mishafromusa]

ewert в сообщении #880193 писал(а):

Всё-таки бином Ньютона -- это не очень приятно; да и разложение на множители тоже.

Но оба нам беспредельно дороги.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880216 писал(а):

Но оба нам беспредельно дороги.

Да, обходятся они действительно дороговато.

[mishafromusa]

g______d в сообщении #880155 писал(а):

Вычислений чего?

Ну, дифуру решить, максимум найти, оценить чего-нибудь, итд.

-- 26.06.2014, 04:31 --

g______d в сообщении #880155 писал(а):

Свойства производной (произведение, композиция) все объясняются на пальцах.

Зачем на пальцах если есть алгебра?

-- 26.06.2014, 04:35 --

g______d в сообщении #880155 писал(а):

при сложении складываются абсолютные погрешности, а при умножении относительные

Потому что логарифм призведения равен сумме логарифмов.

-- 26.06.2014, 04:42 --

ewert в сообщении #880221 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880216 писал(а):

Но оба нам беспредельно дороги.

Да, обходятся они действительно дороговато.

Почему? $x^n -a^n =(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots +a^{n-1})$ всё просто. Можно. конечно и по индукции производную посчитать...

-- 26.06.2014, 05:04 --

Oleg Zubelevich в сообщении #880195 писал(а):

mishafromusa в сообщении #880136 писал(а):

У всех пределами мозги засорены... По-английски я это назвал the church of limitology

Лютер выискался

Пора освободиться из-под гнёта...

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880225 писал(а):

Почему? $x^n -a^n =(x-a)(x^{n-1}+x^{n-2}a+\dots +a^{n-1})$ всё просто.

Многоточие уже не слишком радует. А если теперь ещё и честно расписать отсюда Вашу любимую липшицеву дифференцируемость...На сколько строчек растянется формула?...