2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51 ... 67  След.
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):
Я посмотрел оглавление Зорича, пока не заглядывая внутрь.

Речь о том, что внутри.

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):
А без попадается реже, в особенности в физике

Не важно. Всё равно вы вместо того, чтобы дать инструмент, ставите задачу: относится ли функция к вашему классу, или нет.

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):
Где вы в последний раз видели не кусочно гёльдеровы функции в элементарном анализе, не говоря уже об общей фисике, механике, Calculus и школьной математике?

Вы хотите сказать, что ударные волны (не говоря об ударе в механике), и например, каустики, в общей физике не встречаются? Не говорите о том, чего не знаете.

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):
И сколько раз я должен повторять, что я вовсе не предлагаю исключать непрерывность и пределы из курса?

До тех пор, пока не представите план курса (а то и подробности).

Всё дело в вашей же собственной скрытности и непоследовательности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 22:53 


12/02/14
808
Munin в сообщении #880033 писал(а):
Не важно. Всё равно вы вместо того, чтобы дать инструмент, ставите задачу: относится ли функция к вашему классу, или нет.

Эта задача возникает для всех классов: непрерывных, дифференцируемых, измеримых -- без разницы.

-- 25.06.2014, 15:55 --

Munin в сообщении #880033 писал(а):
Вы хотите сказать, что ударные волны (не говоря об ударе в механике), и например, каустики, в общей физике не встречаются? Не говорите о том, чего не знаете.
Ударные волны не на первом курсе и не в школе, и давйте закончим препираться о том, кто что знает.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 22:56 


10/02/11
6786
в том то и дело, что Вы сами не знаете кому это адресовано, то Вы про первый курс говорите, то про теорию динамических систем в целом.

-- Ср июн 25, 2014 22:59:36 --

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):
Где вы в последний раз видели не кусочно гёльдеровы функции

в классе кусочно гельдеровых функций от Ваших упрощений следа не останется, наоборот , более громоздкие доказательства пойдут, чем просто для непрерывных функций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 22:59 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #880049 писал(а):
в том то и дело, что Вы сами не знаете кому это адресовано, то Вы про первый курс говорите, то про теорию динамических систем в целом.
В целом -- это Ваша идея. Я в основном работал со школьниками.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 23:02 


10/02/11
6786
mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):
И сколько раз я должен повторять, что я вовсе не предлагаю исключать непрерывность и пределы из курса? Это какя-то комедия

ну, а , а что Вы предлагаете? доказывать дважды каждую теорему, один раз на множестве первой категории, одинм способом , а потом на всем C другим способом? и зачем оно надо? время не жалко?

-- Ср июн 25, 2014 23:03:12 --

mishafromusa в сообщении #880051 писал(а):
В целом -- это Ваша идея.

ну приехали

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 23:04 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #880049 писал(а):
в классе кусочно гельдеровых функций от Ваших упрощений следа не останется, наоборот , более громоздкие доказательства пойдут, чем просто для непрерывных функций.

Ерунда, компактность не нужна, если говорить о доказательствах. И вообще я же сказал, что где переходить к общей непрерывности -- деликатный вопрос.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 23:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):
Где вы в последний раз видели не кусочно гёльдеровы функции в элементарном анализе, не говоря уже об общей фисике, механике, Calculus и школьной математике?


Я точно так же могу спросить – где в элементарном анализе Вы видели не кусочно-аналитические функции? Почему тогда для них не построить теорию?

Ответ, по-моему, простой: введение ненужных требований к функциям – тоже усложнение, ничем не лучше излишней общности. Если для теоремы достаточно одного предположения, а формулируется она с 10 предположениями, 9 из которых нужны для упрощения доказательства, – то это как минимум спорный подход. Потому что затмевает причины, по которым теорема на самом деле верна.

mishafromusa в сообщении #879630 писал(а):
"Дело -- продолжал Зельдович -- просто в том, что находить интересующие нас отношения конечных приращений трудно, поэтому и придуманы приближенные асимптотические формулы для них. Эти-то приближенные формулы математики и называют своими пределами и математическими производными. В любом реальном применении теории следует учитывать, меньше чего не следует делать приращения, чтобы результаты теории соответствовали эксперименту."


Это хорошая цитата, и я про неё где-то тоже говорил (я, правда, не помнил, что она принадлежит именно Зельдовичу). Но ответ на неё я тоже упоминал; да, пределы и производные ("бесконечные" величины) нужны в первую очередь для оценки конечных величин (приращения и погрешности). Можно было бы работать сразу с приращениями, но вся проблема в том, что это сложнее.

Работа с бесконечностями проще, чем работа с конечными величинами. Для этого они и были придуманы – чтобы не следить за скоростями сходимости и 100500 классами регулярных функций, а чтобы заменить все эти классы на одно простое понятие.

На всякий случай: мысль про бесконечности изначально не моя, я прочитал её в одной из книг Н. А. Вавилова (ссылку найду позже). Абсолютно с ней согласен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 23:11 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #880053 писал(а):
доказывать дважды каждую теорему, один раз на множестве первой категории, одинм способом , а потом на всем C другим способом? и зачем оно надо? время не жалко?
Да в начале и доказательств-то почти нет, и все совершенно элементарные. И потом, потренировавшись на простых доказательсвах, легче понять более сложные.

-- 25.06.2014, 16:25 --

g______d в сообщении #880055 писал(а):
Если для теоремы достаточно одного предположения, а формулируется она с 10 предположениями, 9 из которых нужны для упрощения доказательства, – то это как минимум спорный подход. Потому что затмевает причины, по которым теорема на самом деле верна.

Ерунда, для равномерных оценок всё просто, для поточечных нужны ухищрения, вот и всё. Кстати, Питер Лакс сказал, что ни один уважающий себя аналитик не будет говорить о пространстве просто дифференцируемых функций, не налагая никаких ограничений на производные.

-- 25.06.2014, 16:37 --

Munin в сообщении #880033 писал(а):
До тех пор, пока не представите план курса (а то и подробности).
Я не учил полный университетский курс по этой схеме, а занимался со школьниками. Ничто не мешает перейти к непрерывности и пределам, Hermann Karcher так делал. Кстати, как насчёт школьников? Вы же о них беспокоились тоже.

-- 25.06.2014, 16:44 --

g______d в сообщении #880055 писал(а):
Работа с бесконечностями проще, чем работа с конечными величинами. Для этого они и были придуманы – чтобы не следить за скоростями сходимости и 100500 классами регулярных функций, а чтобы заменить все эти классы на одно простое понятие.
Это очень иллюзорная простота, и она рассыпается в прах, когда нужно сделть что-нибудь практическое. Посмотрите на УЧП, там полно самых разных функциональных пространств. А пространства просто непрерывных функций попадаются как искючительные и патологические случаи.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение25.06.2014, 23:52 
Заслуженный участник


11/05/08
31931
mishafromusa в сообщении #880059 писал(а):
потренировавшись на простых доказательсвах, легче понять более сложные.

Сложнее. Акцентируя внимание на алгебре, Вы напрочь отшибаете топологическое чутьё. Которое для неалгебраистов не в пример и проще, и принципиальнее.

Это ещё приемлемо для школьников, специализирующихся на математике: они по самой своей специализации математически лабильнее, да и будет их потом кому поправить; тренироваться же они могут пусть даже и на кошках. Для остальных же -- вредно.

-- Чт июн 26, 2014 00:56:01 --

mishafromusa в сообщении #880059 писал(а):
там полно самых разных функциональных пространств. А пространства просто непрерывных функций попадаются как искючительные и патологические случаи.

Нет, ну это просто прелесть. А то, что те самые разные пространства возникают именно из желания избавиться от явно избыточной непрерывности (не говоря уж о не к ночи будь помянутой липшицевости) -- это Вам в голову не приходило?...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 00:04 


12/02/14
808
Oleg Zubelevich в сообщении #880053 писал(а):
ну приехали
Я просто упомянул, что в ОДУ учебнике Арнольда непрерывные функции попадаются только при топологической классификации линейных систем, а остальное всё гладкое. Это вовсе не означает, что я собирался преподавать динамические сыстемы в целом, у Вас слишком богатое воображение.

-- 25.06.2014, 17:15 --

ewert в сообщении #880066 писал(а):
Сложнее. Акцентируя внимание на алгебре, Вы напрочь отшибаете топологическое чутьё. Которое для неалгебраистов не в пример и проще, и принципиальнее.
О каком топологическом чутье речь? О том, что функция, меняющая знак обращается в нуль? Или о том, что производная в точке зависит от маленького куска? И Вы упорно игнорируете, что я не предлагаю избавиться от непрерывности и компактности, просто начинать с них не стоит. Речь же идёт о самом начале курса. А те, кто особенно любят топологию, могут почитать книжку по ней.

-- 25.06.2014, 17:23 --

ewert в сообщении #880066 писал(а):
Нет, ну это просто прелесть. А то, что те самые разные пространства возникают именно из желания избавиться от явно избыточной непрерывности (не говоря уж о не к ночи будь помянутой липшицевости) -- это Вам в голову не приходило?...
Это смотря как посмотреть, есть такая штука -- дуальность. Вообще-то я имел в виду вложения пространств Соболева, они в основном вкладываются в гёльдеровы пространства. И для разрешимости краевых задач нужна дополнительная гладкость границы, на одной непрерывности далеко не уедешь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 00:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
mishafromusa в сообщении #880059 писал(а):
Я не учил полный университетский курс по этой схеме, а занимался со школьниками.

Я ни разу и не говорил, что курс должен быть университетский. Но и школьникам необходимо давать что-то концептуально цельное.

Итак, где программа курса?

ewert в сообщении #880066 писал(а):
Сложнее. Акцентируя внимание на алгебре, Вы напрочь отшибаете топологическое чутьё. Которое для неалгебраистов не в пример и проще, и принципиальнее.

Ну надо же. Меня тянет согласиться с ewert. Что-то странное в мире творится...

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 00:31 
Заслуженный участник


11/05/08
31931
mishafromusa в сообщении #880070 писал(а):
Вообще-то я имел в виду вложения пространств Соболева, они в основном вкладываются в гёльдеровы пространства.

В основном нет; в основном -- друг в друга. Но дело даже не в этом. А в том, что сами эти пространства родились именно в героической борьбе с непрерывностями, липшицевостями и прочими гёльдеровостями.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 00:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
ewert в сообщении #880066 писал(а):
Это ещё приемлемо для школьников, специализирующихся на математике: они по самой своей специализации математически лабильнее, да и будет их потом кому поправить; тренироваться же они могут пусть даже и на кошках. Для остальных же -- вредно.


Я писал страниц 10 назад примерно о том же и согласен. Для матшкольников это может быть относительно неплохим полигоном, чтобы поиграться с неравенствами. Но, опять же, надо сравнивать с другими возможными темами для них. Я считаю, например, что им можно давать классический анализ классе в 9-10, с пределами, вещественными числами и непрерывностью. Но это вопрос личных предпочтений классного руководителя; более алгебраист или более геометр может думать по-другому.

mishafromusa в сообщении #880059 писал(а):
А пространства просто непрерывных функций попадаются как искючительные и патологические случаи.


Если пространство $C$ считается патологическим, то мне страшно подумать, что Вы скажете про "просто $L_2$" или про "просто $W_2^1$".

Т. е. есть некоторая правда в том, что основная часть доказательств фактов, важных для УЧП, — это оценки обычно даже для гладких функций, которые потом по непрерывности распространяются куда надо. Но это происходит после того, как были рассказаны слова про полноту и продолжение по непрерывности. Без них получается неравенство, висящее в воздухе, а не теорема существования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 01:12 


12/02/14
808
Munin в сообщении #880074 писал(а):
Итак, где программа курса?
Курсы были разные, но короткие, от 8 до 10 занятий по 2 часа. Темы примерно собраны в оглавлении, которое я уже показывал http://www.mathfoolery.com/Brochure/tab ... ontent_new Вообще я никакого плана никому не навязываю, возьмите то, что нравится, и добавьте, то, что вам нужно. Список немного устарел и неполон, например я рассказывал теорему и неявной функции, формулу Грина, немножко комлексной переменной. Ещё были пары лекций по 2 часа, в первой я рассказывал о формулах, а во второй -- об оценках, примерно следуя слайдам доклада http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf они нравились школьникам. В одной из таких лекций я рассказал о вешественных и гипервещественных числах, в другой паре -- про узлы и зацепления, ленту Мёбиуса, проективную плоскость, трюк Дирака с верёвками и ремнём, универсальное накрытие группы вращений, кватернионы, спинорное представление, почему частицы со спином половина -- фермионы итп. Это всё происходило под эгидой студенческих программ HSSP и SPLASH в MIT для школьников.

-- 25.06.2014, 18:29 --

ewert в сообщении #880078 писал(а):
В основном нет; в основном -- друг в друга. Но дело даже не в этом. А в том, что сами эти пространства родились именно в героической борьбе с непрерывностями, липшицевостями и прочими гёльдеровостями.
Я имел в виду, что при оперделённых неравенствах на показатели и размерность они вкладываются в пространства Гёльдера, а просто в непрерывные функции -- почти никогда, с рядами Фурье тоже неприятности, но эти разговоры вообще-то не совсем по теме.

-- 25.06.2014, 18:36 --

g______d в сообщении #880082 писал(а):
Я писал страниц 10 назад примерно о том же и согласен.
Вообше-то не только мат., но и физ-школьников можно быстро научить элементам анализа и ДУ в предлагаемом мной виде, это голубая мечта нашего махрового физика, да он всё оглядывается на махровых математиков и боиться как бы они это не осудили :-) По-моему это нечто большее, чем просто 'поиграться с формулами и неравенствами."

 Профиль  
                  
 
 Re: Как упростить преподавание матанализа нематематикам?
Сообщение26.06.2014, 01:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5909
mishafromusa в сообщении #880088 писал(а):
при оперделённых неравенствах на показатели и размерность они вкладываются в пространства Гёльдера


Уточнять "куда они в точности вкладываются" можно до бесконечности, в итоге мы придем к "вкладываются сами в себя". Вы еще скажите, что теоремы о следах всегда формулируют в терминах пространств Бесова и никак иначе. А поведение решений именно в $C$, вообще-то интересует много кого. Типичный вопрос: как ведут себя нормы в $C$ собственных функций оператора Лапласа в области при больших $\lambda$? Я видел довольно много работ на эту тему, в том числе и за последние 10 лет.

Как раз гонятся за гельдеровостью больше в учебниках, чтобы иметь результат в максимальной общности. Или когда нужно реально гнаться за качеством оценок, например, когда решается нелинейное уравнение с помощью замораживания нелинейной части и потом хочется применять метод неподвижной точки в максимально большом пространстве.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 991 ]  На страницу Пред.  1 ... 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51 ... 67  След.

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group