Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):

Я посмотрел оглавление Зорича, пока не заглядывая внутрь.

Речь о том, что внутри.

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):

А без попадается реже, в особенности в физике

Не важно. Всё равно вы вместо того, чтобы дать инструмент, ставите задачу: относится ли функция к вашему классу, или нет.

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):

Где вы в последний раз видели не кусочно гёльдеровы функции в элементарном анализе, не говоря уже об общей фисике, механике, Calculus и школьной математике?

Вы хотите сказать, что ударные волны (не говоря об ударе в механике), и например, каустики, в общей физике не встречаются? Не говорите о том, чего не знаете.

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):

И сколько раз я должен повторять, что я вовсе не предлагаю исключать непрерывность и пределы из курса?

До тех пор, пока не представите план курса (а то и подробности).

Всё дело в вашей же собственной скрытности и непоследовательности.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #880033 писал(а):

Не важно. Всё равно вы вместо того, чтобы дать инструмент, ставите задачу: относится ли функция к вашему классу, или нет.

Эта задача возникает для всех классов: непрерывных, дифференцируемых, измеримых -- без разницы.

-- 25.06.2014, 15:55 --

Munin в сообщении #880033 писал(а):

Вы хотите сказать, что ударные волны (не говоря об ударе в механике), и например, каустики, в общей физике не встречаются? Не говорите о том, чего не знаете.

Ударные волны не на первом курсе и не в школе, и давйте закончим препираться о том, кто что знает.

[Oleg Zubelevich]

в том то и дело, что Вы сами не знаете кому это адресовано, то Вы про первый курс говорите, то про теорию динамических систем в целом.

-- Ср июн 25, 2014 22:59:36 --

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):

Где вы в последний раз видели не кусочно гёльдеровы функции

в классе кусочно гельдеровых функций от Ваших упрощений следа не останется, наоборот , более громоздкие доказательства пойдут, чем просто для непрерывных функций.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #880049 писал(а):

в том то и дело, что Вы сами не знаете кому это адресовано, то Вы про первый курс говорите, то про теорию динамических систем в целом.

В целом -- это Ваша идея. Я в основном работал со школьниками.

[Oleg Zubelevich]

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):

И сколько раз я должен повторять, что я вовсе не предлагаю исключать непрерывность и пределы из курса? Это какя-то комедия

ну, а , а что Вы предлагаете? доказывать дважды каждую теорему, один раз на множестве первой категории, одинм способом , а потом на всем C другим способом? и зачем оно надо? время не жалко?

-- Ср июн 25, 2014 23:03:12 --

mishafromusa в сообщении #880051 писал(а):

В целом -- это Ваша идея.

ну приехали

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #880049 писал(а):

в классе кусочно гельдеровых функций от Ваших упрощений следа не останется, наоборот , более громоздкие доказательства пойдут, чем просто для непрерывных функций.

Ерунда, компактность не нужна, если говорить о доказательствах. И вообще я же сказал, что где переходить к общей непрерывности -- деликатный вопрос.

[g______d]

mishafromusa в сообщении #879990 писал(а):

Где вы в последний раз видели не кусочно гёльдеровы функции в элементарном анализе, не говоря уже об общей фисике, механике, Calculus и школьной математике?

Я точно так же могу спросить – где в элементарном анализе Вы видели не кусочно-аналитические функции? Почему тогда для них не построить теорию?

Ответ, по-моему, простой: введение ненужных требований к функциям – тоже усложнение, ничем не лучше излишней общности. Если для теоремы достаточно одного предположения, а формулируется она с 10 предположениями, 9 из которых нужны для упрощения доказательства, – то это как минимум спорный подход. Потому что затмевает причины, по которым теорема на самом деле верна.

mishafromusa в сообщении #879630 писал(а):

"Дело -- продолжал Зельдович -- просто в том, что находить интересующие нас отношения конечных приращений трудно, поэтому и придуманы приближенные асимптотические формулы для них. Эти-то приближенные формулы математики и называют своими пределами и математическими производными. В любом реальном применении теории следует учитывать, меньше чего не следует делать приращения, чтобы результаты теории соответствовали эксперименту."

Это хорошая цитата, и я про неё где-то тоже говорил (я, правда, не помнил, что она принадлежит именно Зельдовичу). Но ответ на неё я тоже упоминал; да, пределы и производные ("бесконечные" величины) нужны в первую очередь для оценки конечных величин (приращения и погрешности). Можно было бы работать сразу с приращениями, но вся проблема в том, что это сложнее.

Работа с бесконечностями проще, чем работа с конечными величинами. Для этого они и были придуманы – чтобы не следить за скоростями сходимости и 100500 классами регулярных функций, а чтобы заменить все эти классы на одно простое понятие.

На всякий случай: мысль про бесконечности изначально не моя, я прочитал её в одной из книг Н. А. Вавилова (ссылку найду позже). Абсолютно с ней согласен.

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #880053 писал(а):

доказывать дважды каждую теорему, один раз на множестве первой категории, одинм способом , а потом на всем C другим способом? и зачем оно надо? время не жалко?

Да в начале и доказательств-то почти нет, и все совершенно элементарные. И потом, потренировавшись на простых доказательсвах, легче понять более сложные.

-- 25.06.2014, 16:25 --

g______d в сообщении #880055 писал(а):

Если для теоремы достаточно одного предположения, а формулируется она с 10 предположениями, 9 из которых нужны для упрощения доказательства, – то это как минимум спорный подход. Потому что затмевает причины, по которым теорема на самом деле верна.

Ерунда, для равномерных оценок всё просто, для поточечных нужны ухищрения, вот и всё. Кстати, Питер Лакс сказал, что ни один уважающий себя аналитик не будет говорить о пространстве просто дифференцируемых функций, не налагая никаких ограничений на производные.

-- 25.06.2014, 16:37 --

Munin в сообщении #880033 писал(а):

До тех пор, пока не представите план курса (а то и подробности).

Я не учил полный университетский курс по этой схеме, а занимался со школьниками. Ничто не мешает перейти к непрерывности и пределам, Hermann Karcher так делал. Кстати, как насчёт школьников? Вы же о них беспокоились тоже.

-- 25.06.2014, 16:44 --

g______d в сообщении #880055 писал(а):

Работа с бесконечностями проще, чем работа с конечными величинами. Для этого они и были придуманы – чтобы не следить за скоростями сходимости и 100500 классами регулярных функций, а чтобы заменить все эти классы на одно простое понятие.

Это очень иллюзорная простота, и она рассыпается в прах, когда нужно сделть что-нибудь практическое. Посмотрите на УЧП, там полно самых разных функциональных пространств. А пространства просто непрерывных функций попадаются как искючительные и патологические случаи.

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880059 писал(а):

потренировавшись на простых доказательсвах, легче понять более сложные.

Сложнее. Акцентируя внимание на алгебре, Вы напрочь отшибаете топологическое чутьё. Которое для неалгебраистов не в пример и проще, и принципиальнее.

Это ещё приемлемо для школьников, специализирующихся на математике: они по самой своей специализации математически лабильнее, да и будет их потом кому поправить; тренироваться же они могут пусть даже и на кошках. Для остальных же -- вредно.

-- Чт июн 26, 2014 00:56:01 --

mishafromusa в сообщении #880059 писал(а):

там полно самых разных функциональных пространств. А пространства просто непрерывных функций попадаются как искючительные и патологические случаи.

Нет, ну это просто прелесть. А то, что те самые разные пространства возникают именно из желания избавиться от явно избыточной непрерывности (не говоря уж о не к ночи будь помянутой липшицевости) -- это Вам в голову не приходило?...

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #880053 писал(а):

ну приехали

Я просто упомянул, что в ОДУ учебнике Арнольда непрерывные функции попадаются только при топологической классификации линейных систем, а остальное всё гладкое. Это вовсе не означает, что я собирался преподавать динамические сыстемы в целом, у Вас слишком богатое воображение.

-- 25.06.2014, 17:15 --

ewert в сообщении #880066 писал(а):

Сложнее. Акцентируя внимание на алгебре, Вы напрочь отшибаете топологическое чутьё. Которое для неалгебраистов не в пример и проще, и принципиальнее.

О каком топологическом чутье речь? О том, что функция, меняющая знак обращается в нуль? Или о том, что производная в точке зависит от маленького куска? И Вы упорно игнорируете, что я не предлагаю избавиться от непрерывности и компактности, просто начинать с них не стоит. Речь же идёт о самом начале курса. А те, кто особенно любят топологию, могут почитать книжку по ней.

-- 25.06.2014, 17:23 --

ewert в сообщении #880066 писал(а):

Нет, ну это просто прелесть. А то, что те самые разные пространства возникают именно из желания избавиться от явно избыточной непрерывности (не говоря уж о не к ночи будь помянутой липшицевости) -- это Вам в голову не приходило?...

Это смотря как посмотреть, есть такая штука -- дуальность. Вообще-то я имел в виду вложения пространств Соболева, они в основном вкладываются в гёльдеровы пространства. И для разрешимости краевых задач нужна дополнительная гладкость границы, на одной непрерывности далеко не уедешь.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #880059 писал(а):

Я не учил полный университетский курс по этой схеме, а занимался со школьниками.

Я ни разу и не говорил, что курс должен быть университетский. Но и школьникам необходимо давать что-то концептуально цельное.

Итак, где программа курса?

ewert в сообщении #880066 писал(а):

Сложнее. Акцентируя внимание на алгебре, Вы напрочь отшибаете топологическое чутьё. Которое для неалгебраистов не в пример и проще, и принципиальнее.

Ну надо же. Меня тянет согласиться с ewert. Что-то странное в мире творится...

[ewert]

mishafromusa в сообщении #880070 писал(а):

Вообще-то я имел в виду вложения пространств Соболева, они в основном вкладываются в гёльдеровы пространства.

В основном нет; в основном -- друг в друга. Но дело даже не в этом. А в том, что сами эти пространства родились именно в героической борьбе с непрерывностями, липшицевостями и прочими гёльдеровостями.

[g______d]

ewert в сообщении #880066 писал(а):

Это ещё приемлемо для школьников, специализирующихся на математике: они по самой своей специализации математически лабильнее, да и будет их потом кому поправить; тренироваться же они могут пусть даже и на кошках. Для остальных же -- вредно.

Я писал страниц 10 назад примерно о том же и согласен. Для матшкольников это может быть относительно неплохим полигоном, чтобы поиграться с неравенствами. Но, опять же, надо сравнивать с другими возможными темами для них. Я считаю, например, что им можно давать классический анализ классе в 9-10, с пределами, вещественными числами и непрерывностью. Но это вопрос личных предпочтений классного руководителя; более алгебраист или более геометр может думать по-другому.

mishafromusa в сообщении #880059 писал(а):

А пространства просто непрерывных функций попадаются как искючительные и патологические случаи.

Если пространство $C$ считается патологическим, то мне страшно подумать, что Вы скажете про "просто $L_2$" или про "просто $W_2^1$".

Т. е. есть некоторая правда в том, что основная часть доказательств фактов, важных для УЧП, — это оценки обычно даже для гладких функций, которые потом по непрерывности распространяются куда надо. Но это происходит после того, как были рассказаны слова про полноту и продолжение по непрерывности. Без них получается неравенство, висящее в воздухе, а не теорема существования.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #880074 писал(а):

Итак, где программа курса?

Курсы были разные, но короткие, от 8 до 10 занятий по 2 часа. Темы примерно собраны в оглавлении, которое я уже показывал http://www.mathfoolery.com/Brochure/tab ... ontent_new Вообще я никакого плана никому не навязываю, возьмите то, что нравится, и добавьте, то, что вам нужно. Список немного устарел и неполон, например я рассказывал теорему и неявной функции, формулу Грина, немножко комлексной переменной. Ещё были пары лекций по 2 часа, в первой я рассказывал о формулах, а во второй -- об оценках, примерно следуя слайдам доклада http://mathfoolery.com/talk-2004.pdf они нравились школьникам. В одной из таких лекций я рассказал о вешественных и гипервещественных числах, в другой паре -- про узлы и зацепления, ленту Мёбиуса, проективную плоскость, трюк Дирака с верёвками и ремнём, универсальное накрытие группы вращений, кватернионы, спинорное представление, почему частицы со спином половина -- фермионы итп. Это всё происходило под эгидой студенческих программ HSSP и SPLASH в MIT для школьников.

-- 25.06.2014, 18:29 --

ewert в сообщении #880078 писал(а):

В основном нет; в основном -- друг в друга. Но дело даже не в этом. А в том, что сами эти пространства родились именно в героической борьбе с непрерывностями, липшицевостями и прочими гёльдеровостями.

Я имел в виду, что при оперделённых неравенствах на показатели и размерность они вкладываются в пространства Гёльдера, а просто в непрерывные функции -- почти никогда, с рядами Фурье тоже неприятности, но эти разговоры вообще-то не совсем по теме.

-- 25.06.2014, 18:36 --

g______d в сообщении #880082 писал(а):

Я писал страниц 10 назад примерно о том же и согласен.

Вообше-то не только мат., но и физ-школьников можно быстро научить элементам анализа и ДУ в предлагаемом мной виде, это голубая мечта нашего махрового физика, да он всё оглядывается на махровых математиков и боиться как бы они это не осудили По-моему это нечто большее, чем просто 'поиграться с формулами и неравенствами."

[g______d]

mishafromusa в сообщении #880088 писал(а):

при оперделённых неравенствах на показатели и размерность они вкладываются в пространства Гёльдера

Уточнять "куда они в точности вкладываются" можно до бесконечности, в итоге мы придем к "вкладываются сами в себя". Вы еще скажите, что теоремы о следах всегда формулируют в терминах пространств Бесова и никак иначе. А поведение решений именно в $C$, вообще-то интересует много кого. Типичный вопрос: как ведут себя нормы в $C$ собственных функций оператора Лапласа в области при больших $\lambda$? Я видел довольно много работ на эту тему, в том числе и за последние 10 лет.

Как раз гонятся за гельдеровостью больше в учебниках, чтобы иметь результат в максимальной общности. Или когда нужно реально гнаться за качеством оценок, например, когда решается нелинейное уравнение с помощью замораживания нелинейной части и потом хочется применять метод неподвижной точки в максимально большом пространстве.