Как упростить преподавание матанализа нематематикам?

[Munin]

(Оффтоп)

Ну вот, не зря я потёр лампу, из которой вылез Oleg Zubelevich!.. :-)

[mishafromusa]

Oleg Zubelevich в сообщении #879810 писал(а):

mishafromusa в сообщении #879798 писал(а):

Это определение замечательно работает во всей гладкой механике, как минимум.

пока Вы предлагаете использовать этот метод в каком-то вводном курсе, для балбесов несопосбных понять язык $\varepsilon-\delta$ это еще можно обсуждать, но когда Вы начинаете распространять это на какие-то продвинутые разделы получается абсурд: Вы собираетесь преподавать теорию динамических систем людям, которые неспособны освоить определение предела?

Ну вы опять утрируете, я просто сказал, что липшицевы функции достаточно общие для многих приложений. И почему балбесам? Неужели не понятно, что есть люди, которые хотят быстро войти в предмет, а патологии разбирать позже?

-- 25.06.2014, 09:49 --

Oleg Zubelevich в сообщении #879823 писал(а):

кстати в теории гладких динамических систем совершенно спокойно возникают инвариантные меры с очень негладкой плотностью

Ну это же потом, а не в школе и не на первом курсе, никто же не начинает с теории меры?

[Munin]

mishafromusa в сообщении #879826 писал(а):

Неужели не понятно, что есть люди, которые хотят быстро войти в предмет, а патологии разбирать позже?

Для таких людей нюансы липшицевости как раз патологии. Вот как это выглядит:

Nemiroff в сообщении #878517 писал(а):

А то читаю тему, тут резко гёльдеровость на подошву налипла, я как-то и застрял.

[mishafromusa]

arseniiv в сообщении #879792 писал(а):

Будем считать, что я имел в виду предел функции $\mathbb R\to\mathbb R$ в точке независимо от определения. Что занудного в доказательстве нужных вещей про пределы при не таком неумеренно (это я про дельта-эпсилон) специализированном определении?

Ничего, но не лучше ли сначала понять дифференцирвание и интегрирование на примерах элементарных функций?

-- 25.06.2014, 09:58 --

Munin в сообщении #879831 писал(а):

Для таких людей нюансы липшицевости как раз патологии. Вот как это выглядит:

Не судите по себе, Вы просто вызубрили пределы и непрерыность (без особого понимания), и любой частный случай принимаете за патологию.

[arseniiv]

Ну если ограничиваться элементарными, так можно вообще постулировать множества, на которых определённое число функций непрерывно, и преобразования этих множеств при построении элементарной функции из элементарных (имею в виду, суммой, произведением, композицией и чем там ещё). И всё хорошо. И производные постулируем, и первообразные. Всё просто и для кого-то даже понятно!

-- Ср июн 25, 2014 20:01:12 --

Нет, лучше всего сначала ограничиться многочленами, думаю…

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879788 писал(а):

Они не заслуживают только одного: чтобы их пичкали.

Это Вы хотие их пичкать, вещественными числами, пределами и непрерывностью, пока у них нет никакого понятия зачем это нужно и как это работает.

-- 25.06.2014, 10:11 --

arseniiv в сообщении #879838 писал(а):

Нет, лучше всего сначала ограничиться многочленами, думаю…

Так это же именно то, что я предлагаю, а многочлены дифференцируются при помощи разложения на множители, и правила дифференцирования и интегрирования понятны, а когда мы хотим разобраться почему касательная, вычисленная через производную, касается графика многочлена, вылезают липшицева оценка! Почитайне мою статью http://www.mathfoolery.com/Article/simpcalc-v1.pdf И все правила остаются, и не могут быть другими из-за теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций многочленами!

-- 25.06.2014, 10:31 --

Munin в сообщении #879816 писал(а):

Причём, я не знаю, что значит "достаточно гладкая", хотя подозреваю, что речь идёт о $C^n,\quad n\in\mathbb{N}\cup\{\infty\}.$

Липшицевости по обеим переменным достаточно. Кстати, липшицевость по $y$ обычно предполагается и в классической теории.

[arseniiv]

mishafromusa в сообщении #879842 писал(а):

а когда мы хотим разобраться почему касательная, вычисленная через производную, касается графика многочлена, вылезают липшицева оценка!

Не обязана же вылезать только она одна. Может вылезать и обычное определение касательной через предел секущей.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879821 писал(а):

Вижу, но с классическим понятием предела.

Ну так я просто предпочитаю идти от частного к общему, а не наоборт, многим это легче.

-- 25.06.2014, 10:40 --

arseniiv в сообщении #879855 писал(а):

Не обязана же вылезать только она одна.

Да, но она вылезает первая, и с ней поначалу легче работать.

-- 25.06.2014, 11:18 --

Munin в сообщении #879821 писал(а):

Вам в этой теме многократно продемонстрировали, что не легко,

Никто ничего не продемонстриривал, мне просто кидали довольно искусственные примеры и просили сделать их без пределов. Я и не отрицаю, что пределы иногда полезны, просто начинать с них не стоит. Это раз. А с другой стороны -- Hermann Karcher продемонстрировал, что если начинать с липшицевых оценок, классическая теория усваивается легче. Школьники, которым я так преподносил предмет, говорили мне, что это очень помогло им понять Calculus. Mark Bridger (Notheastern University) пострил курс анализа для инженеров исключительно на равномерной непрерывности и дифференцируемости. Peter Lax написал двухтомник по Calculus, используя исключительно равномерную дифференцируемость, так что примеры успехов есть. Конечно, как далеко двигать теорию с конкретными модулями непрепывности -- вопрос тонкий.

-- 25.06.2014, 11:24 --

И вообще, Munin, вы же говорили где-то, что любите каждый год излагать что-то по-новому и не хотите долбить одно и то же, как замшелые математики, почему же у Вас такое замшелое отношение к математике?

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879821 писал(а):

А ещё мы здесь обсуждаем нематематиков.

Нематематики -- это те, кто не собирается заниматься математикой профессионально, а не только те, кто не может или не хочет её понимать.

-- 25.06.2014, 12:02 --

Nemiroff в сообщении #878517 писал(а):

А то читаю тему, тут резко гёльдеровость на подошву налипла, я как-то и застрял.

Вот тут написано: http://ahiin.livejournal.com/12469.html

[Munin]

mishafromusa в сообщении #879833 писал(а):

Ничего, но не лучше ли сначала понять дифференцирвание и интегрирование на примерах элементарных функций?

Что мешает понять их вообще сначала неформально, а потом дать полноценное определение? Как в Зориче, например.

mishafromusa в сообщении #879842 писал(а):

Это Вы хотие их пичкать, вещественными числами, пределами и непрерывностью, пока у них нет никакого понятия зачем это нужно и как это работает.

Ну вот опять! "Зачем это нужно" и "как это работает" - два принципиально разных вопроса. Более того, два крайне далёких вопроса, на двух разных концах радуги.

mishafromusa в сообщении #879842 писал(а):

а когда мы хотим разобраться почему касательная, вычисленная через производную, касается графика многочлена, вылезают липшицева оценка!

А когда мы хотим разобраться, почему касательная, вычисленная через производную, касается графика другой гладкой функции?

mishafromusa в сообщении #879857 писал(а):

Ну так я просто предпочитаю идти от частного к общему

Здесь я "за".

Разница вот в чём. Пусть у нас есть последовательность от частного к общему $A,B,\ldots,C,D.$ Классическое преподавание (с предварительной мотивацией, которую я одобряю) выглядит так:
- дать $A$ неформально;
- дать $B$ неформально;
- ...;
- дать $C$ неформально;
- дать $D$ формально.
Ваш подход:
- дать $A$ неформально;
- дать $B$ неформально;
- ...;
- дать $C$ формально;
- (???).
Даже если у вас на месте (???) стоит классический же пункт "дать $D$ формально", то получается, что вы только перегружаете программу. Если же вы какие-то ступени выкидываете, по сравнению с классическим вариантом, то получается ещё хуже.

-- 25.06.2014 20:45:00 --

mishafromusa в сообщении #879886 писал(а):

Нематематики -- это те, кто не собирается заниматься математикой профессионально, а не только те, кто не может или не хочет её понимать.

Ну да. И у вас о них какие-то дикие представления. Например, нематематики - это будущие физики. А вы отмахиваетесь от их потребностей, как будто ваша цель - прочитать матанализ каким-нибудь литературоведам.

А вы, в противоречии со своей же формулировкой, как раз "ваших нематематиков" пытаетесь уберечь от полноценной математики, будто они не могут или не хотят её понимать.

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879909 писал(а):

А когда мы хотим разобраться, почему касательная, вычисленная через производную, касается графика другой гладкой функции?

Да для любой функции с липшицевой производной вылезает липшицева оценка! Где вам нужно бесконечное ускорение?

-- 25.06.2014, 13:21 --

Munin в сообщении #879909 писал(а):

А вы, в противоречии со своей же формулировкой, как раз "ваших нематематиков" пытаетесь уберечь от полноценной математики, будто они не могут или не хотят её понимать.

Совсем нет, как раз физики от этого выиграют, они смогут сразу начать применять это к решению физических задач. А "полноценные" определения тоже легче будет переварить, ведь много же общего. А о школьниках я вообще не говорю, особенно интересующихся физикой, им точно это больше понравится.
-- 25.06.2014, 13:33 --

Munin в сообщении #879909 писал(а):

Разница вот в чём. Пусть у нас есть последовательность от частного к общему $A,B,\ldots,C,D.$ ...

Это чисто бюрократический поход, не соответствующий действительности, конкретные предложения надо обсуждать конкретно.

[Munin]

mishafromusa в сообщении #879929 писал(а):

Да для любой функции с липшицевой производной

А если без?

Это речь не о патологии, а просто о том, что мы не знаем, есть у неё такая или нет.

mishafromusa в сообщении #879929 писал(а):

Это чисто бюрократический поход, не соответствующий действительности, конкретные предложения надо обсуждать конкретно.

Так от вас как раз абсолютно никаких конкретных предложений и не поступило! И это при том, что вы, как вы утверждаете, всё это опробовали на практике. Где хоть один учебный план?

Поэтому я попытался восстановить вашу идею хотя бы в общей форме. Вы, похоже, настолько не поняли (математик!), что обозвали это "бюрократией".

mishafromusa в сообщении #879929 писал(а):

Совсем нет, как раз физики от этого выиграют, они смогут сразу начать применять это к решению физических задач.

Каким образом? Впрочем, этот вопрос вам уже задавали, я не хочу по кругу.

[Oleg Zubelevich]

Множество $\bigcup_{\alpha\in(0,1)}C^\alpha[a,b]$ является множеством первой категории Бэра в $C[a,b]$. Для меня этого как-то достаточно, уже даже без всяких сомнительных педагогических выгод.

[ewert]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #879974 писал(а):

является множеством первой категории Бэра в $C[a,b]$. Для меня этого как-то достаточно

очевидно было даже уже и в десятом классе...

[mishafromusa]

Munin в сообщении #879909 писал(а):

Что мешает понять их вообще сначала неформально, а потом дать полноценное определение? Как в Зориче, например.

Я посмотрел оглавление Зорича, пока не заглядывая внутрь. Выглядит как стандартный матан. Производная в главе 5, интеграл в главе 6, у меня совсем другая последовательность. Посмотрю что внутри.

-- 25.06.2014, 14:29 --

Munin в сообщении #879954 писал(а):

Каким образом? Впрочем, этот вопрос вам уже задавали, я не хочу по кругу.

Я начинаю сразу с дифференцирования и интегрирования, хотя не в самой общей форме, именно таким образом.

-- 25.06.2014, 14:36 --

Munin в сообщении #879954 писал(а):

А если без?

А без попадается реже, в особенности в физике, а уж негёльдельдеровы и совсем редко.

-- 25.06.2014, 14:40 --

Oleg Zubelevich в сообщении #879974 писал(а):

Множество $\bigcup_{\alpha\in(0,1)}C^\alpha[a,b]$ является множеством первой категории Бэра в $C[a,b]$. Для меня этого как-то достаточно, уже даже без всяких сомнительных педагогических выгод.

Где вы в последний раз видели не кусочно гёльдеровы функции в элементарном анализе, не говоря уже об общей фисике, механике, Calculus и школьной математике? И сколько раз я должен повторять, что я вовсе не предлагаю исключать непрерывность и пределы из курса? Это какя-то комедия.