2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 16:53 


05/10/10
152
Здравствуйте. Исследую вот такое уравнение Абеля 1-го рода:
$$
y^{\prime} = -\frac{1}{2}\left(y^2-1\right)\left(1-\dfrac{2y}{x}\right).
$$
Точно уравнение не решается. Интересует поведение его решений в $x=0$. Допустим, для некоторых заданных начальных условий $y(x_0)=y_0>1$, $x_0>0$ имеется решение уравнения. Если начальные условия таковы, что это решение конечно (а это так, если, например, $y_0<x_0/2$), то решение при $x>0$ имеет единственный максимум, после чего монотонно убывает, и
$$
\lim_{x\rightarrow +\infty}{y} = 1.
$$
Сложности возникают, если идти от $x_0$ влево. Ведь $x=0$ - особая точка уравнения. В окрестности $x=0$ можно пренебречь единицей во второй скобке, тогда уравнение примет вид
$$
y^{\prime} = \dfrac{(y^2-1)y}{x}.
$$
Его решение:
$$
y = \dfrac{1}{\sqrt{1-C^2x^2}},
$$
где $C$ - постоянная интегрирования. Т.е.
$$
\lim_{x\rightarrow +0}{y} = 1.
$$
Вопрос в том, имеет ли решение продолжение за ноль. И если имеет, то как оно будет себя там вести.
В статье, из которой взято это уравнение упоминается, что все производные $y$ при $x\rightarrow 0$ стремятся к 0. Тогда непонятно, что с ним будет дальше.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
В каждой точке плоскости поставьте стрелочку, угол наклона которой определяется $y'$, и идите с любого места по стрелочкам. То, что некоторые стрелочки почти (или совсем) горизонтальны, по-моему, не имеет никакого отношения к возможности или невозможности идти по ним. Так мы и уедем за ноль, как в Вашем приближении.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 17:33 


05/10/10
152
А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать? Дело в том, что численное решение в Maple показывает, что после $x=0$, $y=1$, функция убывает и становится меньше единицы. Но, мне кажется, численному решению в особой точке доверять не стоит. Судя по приближенному уравнению, функция после $x=0$ должна возрастать.
И к тому же, в моем приближении не все производные функции обращаются в $0$ - производные четного порядка будут отличны от нуля.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 17:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Точное решение приближённого уравнения - это одна полезная вещь, а вот другая: разложите функцию в ряд Тейлора в нуле и найдите приближённое решение точного уравнения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:00 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
ИСН в сообщении #878314 писал(а):
Так мы и уедем за ноль, как в Вашем приближении.

Никуда мы за ноль не уедем: $x=0,\ y=1$ -- это особая точка типа узел.

Anna from Svetl в сообщении #878318 писал(а):
А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать?

Соответственно -- куда ему заблагорассудится, туда и пойдёт (хотя и по той же касательной).

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:05 


05/10/10
152
ewert в сообщении #878330 писал(а):
$x=0,\ y=1$ -- это особая точка типа узел.

Anna from Svetl в сообщении #878318 писал(а):
А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать?

Соответственно -- куда ему заблагорассудится, туда и пойдёт (хотя и по той же касательной).


А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Anna from Svetl в сообщении #878331 писал(а):
А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

"Если нельзя, но очень хочется, то можно". В этой точке сходится пучок примерно параболических траекторий -- выбирайте любую веточку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:21 


05/10/10
152
ewert в сообщении #878333 писал(а):
Anna from Svetl в сообщении #878331 писал(а):
А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

"Если нельзя, но очень хочется, то можно". В этой точке сходится пучок примерно параболических траекторий -- выбирайте любую веточку.


Я правильно понимаю, что в этой точке можно сшить любые два решения $y_1$ и $y_2$ из областей $x>0$ и $x<0$ соответсвенно, если
$$
\lim_{x\rightarrow +0}{y_1} = \lim_{x\rightarrow -0}{y_2} =1?
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:27 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Можно, да. Что в точности означает, что сшивать просто не имеет смысла. Решения через особую точку продолжать как-то вообще не принято.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:34 


05/10/10
152
А по виду уравнения можно определить, к чему будет стремиться величина
$$
\dfrac{x^2}{y^2-1}
$$
при $x\rightarrow 0$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Так. Я понял. ewert прав, поскольку производная у нас только первая, а первая у них у всех там одинаковая.
Anna from Svetl в сообщении #878337 писал(а):
к чему будет стремиться величина $\dfrac{x^2}{y^2-1}$ при $x\rightarrow 0$?
Может, переписать диффур под эту величину (как новую функцию)? Она по крайней мере не сходится в пучок.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 22:40 


05/10/10
152
Если переписать дифур под эту функцию, получится, что я вернусь к тому физическому уравнению, с которого начинала. А мне это не надо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 22:53 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Anna from Svetl в сообщении #878337 писал(а):
А по виду уравнения можно определить, к чему будет стремиться величина
$$
\dfrac{x^2}{y^2-1}
$$

Можно, конечно. Если исходить только из уравнения, то этот предел определяется совершенно однозначно -- он какой угодно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 22:54 


05/10/10
152
Я вот не понимаю, как авторы статьи смогли доказать, что все производные $y$ будут стремиться к $0$ при $x\rightarrow 0$. У меня что-то не получается.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
cron
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group