2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 16:53 
Здравствуйте. Исследую вот такое уравнение Абеля 1-го рода:
$$
y^{\prime} = -\frac{1}{2}\left(y^2-1\right)\left(1-\dfrac{2y}{x}\right).
$$
Точно уравнение не решается. Интересует поведение его решений в $x=0$. Допустим, для некоторых заданных начальных условий $y(x_0)=y_0>1$, $x_0>0$ имеется решение уравнения. Если начальные условия таковы, что это решение конечно (а это так, если, например, $y_0<x_0/2$), то решение при $x>0$ имеет единственный максимум, после чего монотонно убывает, и
$$
\lim_{x\rightarrow +\infty}{y} = 1.
$$
Сложности возникают, если идти от $x_0$ влево. Ведь $x=0$ - особая точка уравнения. В окрестности $x=0$ можно пренебречь единицей во второй скобке, тогда уравнение примет вид
$$
y^{\prime} = \dfrac{(y^2-1)y}{x}.
$$
Его решение:
$$
y = \dfrac{1}{\sqrt{1-C^2x^2}},
$$
где $C$ - постоянная интегрирования. Т.е.
$$
\lim_{x\rightarrow +0}{y} = 1.
$$
Вопрос в том, имеет ли решение продолжение за ноль. И если имеет, то как оно будет себя там вести.
В статье, из которой взято это уравнение упоминается, что все производные $y$ при $x\rightarrow 0$ стремятся к 0. Тогда непонятно, что с ним будет дальше.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 17:27 
Аватара пользователя
В каждой точке плоскости поставьте стрелочку, угол наклона которой определяется $y'$, и идите с любого места по стрелочкам. То, что некоторые стрелочки почти (или совсем) горизонтальны, по-моему, не имеет никакого отношения к возможности или невозможности идти по ним. Так мы и уедем за ноль, как в Вашем приближении.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 17:33 
А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать? Дело в том, что численное решение в Maple показывает, что после $x=0$, $y=1$, функция убывает и становится меньше единицы. Но, мне кажется, численному решению в особой точке доверять не стоит. Судя по приближенному уравнению, функция после $x=0$ должна возрастать.
И к тому же, в моем приближении не все производные функции обращаются в $0$ - производные четного порядка будут отличны от нуля.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 17:58 
Аватара пользователя
Точное решение приближённого уравнения - это одна полезная вещь, а вот другая: разложите функцию в ряд Тейлора в нуле и найдите приближённое решение точного уравнения.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:00 
ИСН в сообщении #878314 писал(а):
Так мы и уедем за ноль, как в Вашем приближении.

Никуда мы за ноль не уедем: $x=0,\ y=1$ -- это особая точка типа узел.

Anna from Svetl в сообщении #878318 писал(а):
А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать?

Соответственно -- куда ему заблагорассудится, туда и пойдёт (хотя и по той же касательной).

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:05 
ewert в сообщении #878330 писал(а):
$x=0,\ y=1$ -- это особая точка типа узел.

Anna from Svetl в сообщении #878318 писал(а):
А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать?

Соответственно -- куда ему заблагорассудится, туда и пойдёт (хотя и по той же касательной).


А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:14 
Anna from Svetl в сообщении #878331 писал(а):
А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

"Если нельзя, но очень хочется, то можно". В этой точке сходится пучок примерно параболических траекторий -- выбирайте любую веточку.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:21 
ewert в сообщении #878333 писал(а):
Anna from Svetl в сообщении #878331 писал(а):
А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

"Если нельзя, но очень хочется, то можно". В этой точке сходится пучок примерно параболических траекторий -- выбирайте любую веточку.


Я правильно понимаю, что в этой точке можно сшить любые два решения $y_1$ и $y_2$ из областей $x>0$ и $x<0$ соответсвенно, если
$$
\lim_{x\rightarrow +0}{y_1} = \lim_{x\rightarrow -0}{y_2} =1?
$$

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:27 
Можно, да. Что в точности означает, что сшивать просто не имеет смысла. Решения через особую точку продолжать как-то вообще не принято.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 18:34 
А по виду уравнения можно определить, к чему будет стремиться величина
$$
\dfrac{x^2}{y^2-1}
$$
при $x\rightarrow 0$?

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 22:25 
Аватара пользователя
Так. Я понял. ewert прав, поскольку производная у нас только первая, а первая у них у всех там одинаковая.
Anna from Svetl в сообщении #878337 писал(а):
к чему будет стремиться величина $\dfrac{x^2}{y^2-1}$ при $x\rightarrow 0$?
Может, переписать диффур под эту величину (как новую функцию)? Она по крайней мере не сходится в пучок.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 22:40 
Если переписать дифур под эту функцию, получится, что я вернусь к тому физическому уравнению, с которого начинала. А мне это не надо.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 22:53 
Anna from Svetl в сообщении #878337 писал(а):
А по виду уравнения можно определить, к чему будет стремиться величина
$$
\dfrac{x^2}{y^2-1}
$$

Можно, конечно. Если исходить только из уравнения, то этот предел определяется совершенно однозначно -- он какой угодно.

 
 
 
 Re: Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0
Сообщение22.06.2014, 22:54 
Я вот не понимаю, как авторы статьи смогли доказать, что все производные $y$ будут стремиться к $0$ при $x\rightarrow 0$. У меня что-то не получается.

 
 
 [ Сообщений: 14 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group