Уравнние Абеля 1-го рода: поведение решения в x=0

[Anna from Svetl]

Здравствуйте. Исследую вот такое уравнение Абеля 1-го рода:

$$ y^{\prime} = -\frac{1}{2}\left(y^2-1\right)\left(1-\dfrac{2y}{x}\right). $$

Точно уравнение не решается. Интересует поведение его решений в $x=0$. Допустим, для некоторых заданных начальных условий $y(x_0)=y_0>1$, $x_0>0$ имеется решение уравнения. Если начальные условия таковы, что это решение конечно (а это так, если, например, $y_0<x_0/2$), то решение при $x>0$ имеет единственный максимум, после чего монотонно убывает, и

$$ \lim_{x\rightarrow +\infty}{y} = 1. $$

Сложности возникают, если идти от $x_0$ влево. Ведь $x=0$ - особая точка уравнения. В окрестности $x=0$ можно пренебречь единицей во второй скобке, тогда уравнение примет вид

$$ y^{\prime} = \dfrac{(y^2-1)y}{x}. $$

Его решение:

$$ y = \dfrac{1}{\sqrt{1-C^2x^2}}, $$

где $C$ - постоянная интегрирования. Т.е.

$$ \lim_{x\rightarrow +0}{y} = 1. $$

Вопрос в том, имеет ли решение продолжение за ноль. И если имеет, то как оно будет себя там вести.
В статье, из которой взято это уравнение упоминается, что все производные $y$ при $x\rightarrow 0$ стремятся к 0. Тогда непонятно, что с ним будет дальше.

[ИСН]

В каждой точке плоскости поставьте стрелочку, угол наклона которой определяется $y'$, и идите с любого места по стрелочкам. То, что некоторые стрелочки почти (или совсем) горизонтальны, по-моему, не имеет никакого отношения к возможности или невозможности идти по ним. Так мы и уедем за ноль, как в Вашем приближении.

[Anna from Svetl]

А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать? Дело в том, что численное решение в Maple показывает, что после $x=0$, $y=1$, функция убывает и становится меньше единицы. Но, мне кажется, численному решению в особой точке доверять не стоит. Судя по приближенному уравнению, функция после $x=0$ должна возрастать.
И к тому же, в моем приближении не все производные функции обращаются в $0$ - производные четного порядка будут отличны от нуля.

[ИСН]

Точное решение приближённого уравнения - это одна полезная вещь, а вот другая: разложите функцию в ряд Тейлора в нуле и найдите приближённое решение точного уравнения.

[ewert]

ИСН в сообщении #878314 писал(а):

Так мы и уедем за ноль, как в Вашем приближении.

Никуда мы за ноль не уедем: $x=0,\ y=1$ -- это особая точка типа узел.

Anna from Svetl в сообщении #878318 писал(а):

А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать?

Соответственно -- куда ему заблагорассудится, туда и пойдёт (хотя и по той же касательной).

[Anna from Svetl]

ewert в сообщении #878330 писал(а):

$x=0,\ y=1$ -- это особая точка типа узел.

Anna from Svetl в сообщении #878318 писал(а):

А дальше что - за нулем $y$ станет меньше единице или начнет возрастать?

Соответственно -- куда ему заблагорассудится, туда и пойдёт (хотя и по той же касательной).

А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

[ewert]

Anna from Svetl в сообщении #878331 писал(а):

А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

"Если нельзя, но очень хочется, то можно". В этой точке сходится пучок примерно параболических траекторий -- выбирайте любую веточку.

[Anna from Svetl]

ewert в сообщении #878333 писал(а):

Anna from Svetl в сообщении #878331 писал(а):

А может ли оно вообще куда-то пойти, или его нельзя продолжить за эту точку?

"Если нельзя, но очень хочется, то можно". В этой точке сходится пучок примерно параболических траекторий -- выбирайте любую веточку.

Я правильно понимаю, что в этой точке можно сшить любые два решения $y_1$ и $y_2$ из областей $x>0$ и $x<0$ соответсвенно, если

$$ \lim_{x\rightarrow +0}{y_1} = \lim_{x\rightarrow -0}{y_2} =1? $$

[ewert]

Можно, да. Что в точности означает, что сшивать просто не имеет смысла. Решения через особую точку продолжать как-то вообще не принято.

[Anna from Svetl]

А по виду уравнения можно определить, к чему будет стремиться величина

$$ \dfrac{x^2}{y^2-1} $$

при $x\rightarrow 0$?

[ИСН]

Так. Я понял. ewert прав, поскольку производная у нас только первая, а первая у них у всех там одинаковая.

Anna from Svetl в сообщении #878337 писал(а):

к чему будет стремиться величина $\dfrac{x^2}{y^2-1}$ при $x\rightarrow 0$?

Может, переписать диффур под эту величину (как новую функцию)? Она по крайней мере не сходится в пучок.

[Anna from Svetl]

Если переписать дифур под эту функцию, получится, что я вернусь к тому физическому уравнению, с которого начинала. А мне это не надо.

[ewert]

Anna from Svetl в сообщении #878337 писал(а):

А по виду уравнения можно определить, к чему будет стремиться величина

$$ \dfrac{x^2}{y^2-1} $$

Можно, конечно. Если исходить только из уравнения, то этот предел определяется совершенно однозначно -- он какой угодно.

[Anna from Svetl]

Я вот не понимаю, как авторы статьи смогли доказать, что все производные $y$ будут стремиться к $0$ при $x\rightarrow 0$. У меня что-то не получается.