Тригонометрические уравнения

[Qazed]

Lia: Тема переименована в соответствии с содержанием.

Здравствуйте, прошу помощи в решении нескольких показательных уравнений и неравенств. Привожу первое:

$$ \sqrt{1 - \tg x + \sin^2 x} - \sqrt{\sin^2 x - \dfrac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5} -\tg x}. $$

Пытаюсь определить ООУ:

$$\begin{cases} 1 - \tg x + \sin^2 x \geqslant 0\\ \sin^2 x - \dfrac{4}{5} \geqslant 0\\ \dfrac{9}{5} - \tg x \geqslant 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} \text{Не могу решить}\\ \left[ \begin{matrix} x \in [\arcsin\dfrac{2\sqrt5}{5} + 2\pi n; \pi - \arcsin\dfrac{2\sqrt5}{5}+2 \pi n], n \in Z\\ x \in [\arcsin\dfrac{-2\sqrt5}{5} + 2\pi k; \pi - \arcsin\dfrac{-2\sqrt5}{5}+ 2 \pi k], k \in Z \end{matrix} \right. \\ x \in [\arctg \dfrac{9}{5} + \pi h; \dfrac{\pi}{2} + \pi h), h \in Z \end{cases}$$

ООУ не определяю. Решаю без неё: переношу второе слагаемое в правую часть, возвожу уравнение в квадрат и получаю следующее

$$ 2 \sqrt{\left(\dfrac{9}{5}-\tg x\right)\left(\sin^ 2 - \dfrac{4}{5}\right)} = 0 \Longleftrightarrow \left[ \begin{matrix} x = \arctg \dfrac{9}{5} + \pi q, q \in Z\\ x = (-1)^s \cdot \arcsin \dfrac{2\sqrt{5}}{5} + \pi s, s \in Z\\ x = (-1)^r \cdot \arcsin \dfrac{-2\sqrt{5}}{5} + \pi r, r \in Z \end{matrix} \right. $$

Ответ в задачнике: $ x = - \arctg 2 + \pi n, n \in Z $

[mihailm]

Дорешивать надо до конца. Подставляйте найденные значения в уравнение.

[Qazed]

mihailm в сообщении #877887 писал(а):

Дорешивать надо до конца. Подставляйте найденные значения в уравнение.

Объясните, пожалуйста, как дебилу. Не понимаю куда что подставить.

[mihailm]

Попробую)
Вот этот замечательный значок равносильности в конце он в тему, но до этого равносильности в решении из-за возведения в квадрат нету. Точнее, при выбранном способе решения могут появиться посторонние корни.
Отсюда вывод все три серии решений, надо подставить в исходное уравнение. Подставляйте первую серию, которая с арктангенсом

[Qazed]

mihailm в сообщении #877898 писал(а):

Попробую)
Вот этот замечательный значок равносильности в конце он в тему, но до этого равносильности в решении из-за возведения в квадрат нету. Точнее, при выбранном способе решения могут появиться посторонние корни.
Отсюда вывод все три серии решений, надо подставить в исходное уравнение. Подставляйте первую серию, которая с арктангенсом

Подставляю:

$$ \sqrt{1-\dfrac{9}{5}+\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5})} - \sqrt{\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5}) - \dfrac{4}{5}} = \sqrt{\dfrac{9}{5} - \dfrac{9}{5}} \Longleftrightarrow \sqrt{-\dfrac{4}{5}+\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5})} = \sqrt{\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5}) - \dfrac{4}{5}}$$

Делаю вывод, что подкоренные выражения равны, получаю

$$ \sin^2 \left(\arctg \dfrac{9}{5}\right) = \sin^2 \left(\arctg \dfrac{9}{5}\right)$$

противоречий не вижу.

[mihailm]

Логично)
Но все-таки (на всякий случай) на калькуляторе посчитайте первое подынтегральное выражение

[Qazed]

mihailm в сообщении #877919 писал(а):

Логично)
Но все-таки (на всякий случай) на калькуляторе посчитайте первое подынтегральное выражение

Я 10-ти классник, про подынтегральные выражения не знаю ничего, но я подозреваю, что нужно просто посчитать написанное на калькуляторе, верно?

[mihailm]

Извиняюсь, замените слово подынтегральное на подкоренное

[Qazed]

mihailm в сообщении #877927 писал(а):

Извиняюсь, замените слово подынтегральное на подкоренное

Ох, подкоренное выражение отрицательное, что значит серия лишняя.

[mihailm]

Со второй и третьей серией немного сложнее. Там надо подставлять при $s$ и $r=0,1,2,...$ пока не станет понятно, что подходит, а что нет.
Вобще, уравнение $\sin^2x-\frac{4}{5}=0$ желательно решать переходом к тангенсу (как до этого догадаться непрофессиональному решателю, правда, не ясно)

[Qazed]

mihailm в сообщении #877937 писал(а):

Со второй и третьей серией немного сложнее. Там надо подставлять при $s$ и $r=0,1,2,...$ пока не станет понятно, что подходит, а что нет.
Вобще, уравнение $\sin^2x-\frac{4}{5}=0$ желательно решать переходом к тангенсу (как до этого догадаться непрофессиональному решателю, правда, не ясно)

Ох, спасибо. Я правильно понимаю, что уравнение $\sin^2 x - 4/5 = 0$ необходимо преобразовать в $\tg^2 x= 4/3$?

[mihailm]

в такое не удастся!

[Qazed]

mihailm в сообщении #877947 писал(а):

в такое не удастся!

Спасибо за помощь! Если Вас не затруднит, то расскажите в какое преобразовать можно, всё-таки хотелось бы получить ответ как в задачнике самостоятельно.

[mihailm]

Выкладки покажите как получилось $\tg^2 x= 4/3$

[Qazed]

mihailm в сообщении #877965 писал(а):

Выкладки покажите как получилось $\tg^2 x= 4/3$

$$ \sin^2x=\dfrac{4}{5} \Longleftrightarrow \cos^2 x = \sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5} \Longleftrightarrow \tg^2x = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{4}{3} $$