2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 15:12 
Аватара пользователя
 i  Lia: Тема переименована в соответствии с содержанием.


Здравствуйте, прошу помощи в решении нескольких показательных уравнений и неравенств. Привожу первое:
$$ \sqrt{1 - \tg x + \sin^2 x} - \sqrt{\sin^2 x - \dfrac{4}{5}} = \sqrt{\frac{9}{5} -\tg x}. $$
Пытаюсь определить ООУ:
$$\begin{cases}
1 - \tg x + \sin^2 x \geqslant 0\\
\sin^2 x - \dfrac{4}{5} \geqslant 0\\
\dfrac{9}{5} - \tg x \geqslant 0
\end{cases} \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\text{Не могу решить}\\
\left[  \begin{matrix}
x \in [\arcsin\dfrac{2\sqrt5}{5} + 2\pi n; \pi - \arcsin\dfrac{2\sqrt5}{5}+2 \pi n], n \in Z\\
x \in [\arcsin\dfrac{-2\sqrt5}{5} + 2\pi k; \pi - \arcsin\dfrac{-2\sqrt5}{5}+ 2 \pi k], k \in Z
\end{matrix} \right. \\
x \in [\arctg \dfrac{9}{5} + \pi h; \dfrac{\pi}{2} + \pi h), h \in Z
\end{cases}$$

ООУ не определяю. Решаю без неё: переношу второе слагаемое в правую часть, возвожу уравнение в квадрат и получаю следующее
$$ 2 \sqrt{\left(\dfrac{9}{5}-\tg x\right)\left(\sin^ 2 - \dfrac{4}{5}\right)} = 0 \Longleftrightarrow 
\left[ \begin{matrix}
x = \arctg \dfrac{9}{5} + \pi q, q \in Z\\
x = (-1)^s \cdot \arcsin \dfrac{2\sqrt{5}}{5} + \pi s, s \in Z\\
x = (-1)^r \cdot \arcsin \dfrac{-2\sqrt{5}}{5} + \pi r, r \in Z
\end{matrix} \right.
$$

Ответ в задачнике: $ x = - \arctg 2 + \pi n, n \in Z $

 
 
 
 Re: Показательные уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:00 
Дорешивать надо до конца. Подставляйте найденные значения в уравнение.

 
 
 
 Re: Показательные уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:15 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #877887 писал(а):
Дорешивать надо до конца. Подставляйте найденные значения в уравнение.

Объясните, пожалуйста, как дебилу. Не понимаю куда что подставить.

 
 
 
 Re: Показательные уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:27 
Попробую)
Вот этот замечательный значок равносильности в конце он в тему, но до этого равносильности в решении из-за возведения в квадрат нету. Точнее, при выбранном способе решения могут появиться посторонние корни.
Отсюда вывод все три серии решений, надо подставить в исходное уравнение. Подставляйте первую серию, которая с арктангенсом

 
 
 
 Re: Показательные уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:50 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #877898 писал(а):
Попробую)
Вот этот замечательный значок равносильности в конце он в тему, но до этого равносильности в решении из-за возведения в квадрат нету. Точнее, при выбранном способе решения могут появиться посторонние корни.
Отсюда вывод все три серии решений, надо подставить в исходное уравнение. Подставляйте первую серию, которая с арктангенсом

Подставляю:
$$ \sqrt{1-\dfrac{9}{5}+\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5})} - \sqrt{\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5}) - \dfrac{4}{5}} = \sqrt{\dfrac{9}{5} - \dfrac{9}{5}} \Longleftrightarrow 
 \sqrt{-\dfrac{4}{5}+\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5})} = \sqrt{\sin^2 (\arctg \dfrac{9}{5}) - \dfrac{4}{5}}$$
Делаю вывод, что подкоренные выражения равны, получаю
$$ \sin^2 \left(\arctg \dfrac{9}{5}\right) = \sin^2 \left(\arctg \dfrac{9}{5}\right)$$
противоречий не вижу.

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 16:55 
Логично)
Но все-таки (на всякий случай) на калькуляторе посчитайте первое подынтегральное выражение

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:01 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #877919 писал(а):
Логично)
Но все-таки (на всякий случай) на калькуляторе посчитайте первое подынтегральное выражение

Я 10-ти классник, про подынтегральные выражения не знаю ничего, но я подозреваю, что нужно просто посчитать написанное на калькуляторе, верно?

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:05 
Извиняюсь, замените слово подынтегральное на подкоренное

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:12 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #877927 писал(а):
Извиняюсь, замените слово подынтегральное на подкоренное

Ох, подкоренное выражение отрицательное, что значит серия лишняя.

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:28 
Со второй и третьей серией немного сложнее. Там надо подставлять при $s$ и $r=0,1,2,...$ пока не станет понятно, что подходит, а что нет.
Вобще, уравнение $\sin^2x-\frac{4}{5}=0$ желательно решать переходом к тангенсу (как до этого догадаться непрофессиональному решателю, правда, не ясно)

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 17:59 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #877937 писал(а):
Со второй и третьей серией немного сложнее. Там надо подставлять при $s$ и $r=0,1,2,...$ пока не станет понятно, что подходит, а что нет.
Вобще, уравнение $\sin^2x-\frac{4}{5}=0$ желательно решать переходом к тангенсу (как до этого догадаться непрофессиональному решателю, правда, не ясно)

Ох, спасибо. Я правильно понимаю, что уравнение $\sin^2 x - 4/5 = 0$ необходимо преобразовать в $\tg^2 x= 4/3$?

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 18:01 
в такое не удастся!

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 18:33 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #877947 писал(а):
в такое не удастся!

Спасибо за помощь! Если Вас не затруднит, то расскажите в какое преобразовать можно, всё-таки хотелось бы получить ответ как в задачнике самостоятельно.

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 18:38 
Выкладки покажите как получилось $\tg^2 x= 4/3$

 
 
 
 Re: Тригонометрические уравнения
Сообщение21.06.2014, 18:56 
Аватара пользователя
mihailm в сообщении #877965 писал(а):
Выкладки покажите как получилось $\tg^2 x= 4/3$

$$ \sin^2x=\dfrac{4}{5} \Longleftrightarrow \cos^2 x = \sqrt{1-\left(\dfrac{4}{5}\right)^2} = \dfrac{3}{5} \Longleftrightarrow \tg^2x = \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \dfrac{4}{3} $$

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group