Переход от СИ к СГС.

[volchenok]

Здравствуйте уважаемые участники форума. Подскажите пожалуйста, как выводится формула перехода от СИ к СГС для удельной электрическрй проводимости. Заранее спасибо.

[Munin]

Это дело довольно замороченное. В Википедии есть два места, сопоставляя которые, можно разобраться:
http://en.wikipedia.org/wiki/Centimetre-gram-second_system_of_units#Electromagnetic_units_in_various_CGS_systems
http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_units#General_rules_to_translate_a_formula
(И http://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_units#List_of_equations может пригодиться.)

Тж. см. приложение к
Джексон. Классическая электродинамика.

[volchenok]

спасибо, буду разбираться

[DimaM]

volchenok
Полезно запомнить некоторые числа: $1\,\mbox{А} = 3\cdot 10^9\,\mbox{СГС}$, $1\,\mbox{В}=1/300\,\mbox{СГС}$. Сантиметры понятно как переводить, так что чиселки для электропроводности легко конструируются.

[ewert]

http://nashol.com/2012040664289/fizicheskie-velichini-spravochnik-grigoreva-i-s-meilihova-e-z-1991.html

Таблица 1.9

[Munin]

Да, в справочнике "Энергоатомиздата" (под ред. Григорьева и Мейлихова) есть таблички. Ещё в
Чёртов. Единицы физических величин.
есть. Но они там без комментариев, и поэтому я намеренно такие ссылки не давал.

Я давал ссылки на такие источники, где объяснены принципы. По сути, с SI и СГС встречаются две задачи:
1. Дана формула - перевести её в другую систему.
2. Дано значение физической величины - перевести её в другую систему.

Вторая задача - легко решается, по крайней мере, для "технических" единиц (труднее с теоретическими: действие, эйконал, тензор энергии-импульса и т. п.). Первая более замысловатая. Бывают сравнительные списки формул в той и другой системе. Но их не хватает - всегда встретится формула, которую не учли. Поэтому полезно копнуть всё-таки в принципы.

-- 21.06.2014 12:37:09 --

Кстати, почему там справочник с красной обложкой? У меня с синей...

[ewert]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #877822 писал(а):

Но они там без комментариев, и поэтому я намеренно такие ссылки не давал.

Ну в энергоатоме-то они вполне с комментариями. Правда, предваряющими все таблички, а не каждую из них. Что и разумно: иначе вышло бы не тыща страниц с чем-то, а чёрт-те-сколько-то тыщ.

[Munin]

(Оффтоп)

Это я как раз назвал "отсутствием комментариев". Сравните с Джексоном, например. Кстати, 1 главу в справочнике "Энергоатомиздата" писал тот же Чёртов.

Ещё хорошие комментарии (хотя и краткие, пара страничек) есть в
Окунь. Физика элементарных частиц. Приложение 1. О системах физических единиц.

[ewert]

Munin в сообщении #877924 писал(а):

Ещё хорошие комментарии (хотя и краткие, пара страничек) есть в
Окунь. Физика элементарных частиц

Вы меня сильно переоцениваете. Я ведь человек простой: что вижу нужное для жизни -- лишь об том и пою.

[Munin]

ТС спрашивал "как выводится", я и воспринял этот вопрос как более глубокий, чем просто "как перевести".

[volchenok]

Да, спасибо большое. Меня как раз и интересует вопрос именно вывода, а не просто умножить на коэффициент и все.

[Munin]

Вкратце так.

Системы единиц измерения строятся на основе каких-то основных единиц, и на их основе строятся производные единицы. При этом, производные единицы связываются с основными при помощи определяющих уравнений. Определяющее уравнение - это уравнение $x=a^\alpha b^\beta c^\gamma\ldots,$ где по правую сторону входят физические величины, единицы которых уже построены, а по левую - та величина, производную единицу которой хочется определить. Заметьте, что это частный случай более общего уравнения $x=ka^\alpha b^\beta c^\gamma\ldots,$ где $k$ - какой-то коэффициент, вообще говоря, размерный. В определяющих уравнениях он полагается как раз равным единице. Тогда эту производную единицу называют когерентной (и всю систему единиц могут называть когерентной). (Бывают некогерентные системы единиц, но сейчас речь не о них.)

Ясно, что в выборе определяющих уравнений заложен произвол. Какие-то уравнения можно выбрать с единичными коэффициентами, а какие-то нет. Допустим, мы не ввели ещё единицы для ускорения, но имеем единицы для длины ("ед. L"), времени ("ед. T"), скорости ("ед. V"="ед. L"/"ед. T"). Мы можем использовать уравнение для равноускоренного движения $a=k_1 v/t,$ а можем - для того же движения $a=k_2 s/t^2.$ Если мы положим $k_1=1$ (привычный нам выбор), то получим $k_2=2,$ но если мы сделаем другой выбор, то при $k_2=1$ мы будем иметь $k_1=1/2,$ и наша единица ускорения окажется вдвое большего размера.

В то время, как с механическими единицами выбор определяющих уравнений довольно прост и очевиден, но с электромагнитными единицами это не так.
1. Во-первых, можно выбирать в качестве определяющих как интегральные, так и дифференциальные уравнения, например, $\operatorname{div}\mathbf{E}=(1;4\pi)\,\rho$ или $E=\dfrac{q}{(4\pi;1)\,r^2}.$ Выбор будет отличаться на коэффициенты $4\pi,$ связанные с интегрированием по сфере, и с площадью сферы. (При некоторых выборах возможны и коэффициенты $2\pi.$)
2. Во-вторых, в отличие от классической механики, в электродинамику заложена мировая константа размерности $\mathrm{LT^{-1}}$ - скорость света. Поскольку в механические единицы, появлявшиеся в 17-18 веке (а секунда ещё раньше), скорость света не была заложена, единицы длины и времени не были связаны. Вариантов, как поступить, было несколько, например:

2.1. Определить из механических единиц → электрические, а из них → магнитные. Этот вариант называется СГСЭ.
2.2. Определить из механических единиц → магнитные, а из них → электрические. Этот вариант называется СГСМ.
2.3. Определить из механических единиц → электрические. Независимо определить из механических единиц → магнитные. Этот вариант называется СГС Гаусса, или просто СГС. В одной части он совпадает с СГСЭ, в другой - с СГСМ, а уравнения, связывающие электричество и магнетизм, получают ещё отдельный коэффициент $c.$
2.4. Ввести новую основную единицу, например, магнитную, задав её эталон. Определить из магнитных единиц → электрические. Таким путём определяется система СИ.
2.5. Ввести две новых основных единицы... к счастью, до этого дело не дошло :-)

Первый пункт имеет специальное название: выбор законов Кулона (для электричества и магнетизма) без коэффициентов $4\pi$ называется нерационализованным видом уравнений (и системы единиц), и при этом коэффициенты $4\pi$ появляются в уравнениях Максвелла. Уравнения Максвелла считаются более фундаментальными, а законы Кулона - их следствие. Наоборот, если уравнения Максвелла не содержат $4\pi,$ а законы Кулона (и некоторые другие) содержат, то этот вариант называется рационализованным видом уравнений. Хотя слово и заносчивое, на самом деле работать так или иначе - дело привычки. Система СГС - нерационализованная, а СИ - рационализованная. Кстати, есть ещё одна система единиц: Хэвисайда (Хэвисайда-Лоренца), она рационализованная, как СИ, а в остальном похожа на Гауссову. Она используется в некоторых разделах теоретической физики наряду с СГС.

Формально можно превратить рационализованные уравнения в нерационализованные и обратно, если заменить в них вхождения переменных, скажем, $\mathbf{E}$ на $\sqrt{4\pi}\mathbf{E}.$ Надо иметь в виду, что эта замена не сохраняет количественно величину $\mathbf{E},$ например, 1 статВольт/см вовсе не равен $1/\sqrt{4\pi\varepsilon_0}=3\sqrt{10}\cdot 10^{6}\text{ В}/\text{м}$ - на самом деле, он равен $3\cdot 10^{4}\text{ В}/\text{м}.$ Но если совершить такую замену одновременно во всех переменных, то вся формула целиком превратится в корректную формулу в другой системе единиц. Эти правила надо понимать в этом смысле.

Теперь, с какого потолка берутся величины $\varepsilon_0$ и $\mu_0.$ Определение СИ выглядит довольно диким:

Цитата:

Ампер равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную $2\cdot 10^{-7}\text{ Н}.$

На самом деле, исторически первыми возникли единицы СГС (СГСЭ и СГСМ, а потом и СГС Гаусса). Они были построены из сантиметра, грамма и секунды на основе законов Кулона и Ампера:

Цитата:

Франклин (единица электрического заряда СГСЭ) равен электрическому заряду, который действует на равный заряд на расстоянии 1 см в вакууме с силой в 1 дин. Био (единица электрического тока СГСМ) равен силе неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и бесконечно малой площади сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 см один от другого, вызвал бы на участке проводника длиной 1 см силу взаимодействия, равную 2 дин.

Но эти единицы оказались неудобными для технического применения, и электрики в 19 веке приняли практические единицы (отсюда и СИ иногда называют практической системой единиц):

Цитата:

1 ом = $10^{9}$ единиц сопротивления системы СГСМ,
1 вольт = $10^{8}$ единиц электродвижущей силы системы СГСМ,
1 ампер = 0,1 единицы силы тока системы СГСМ,
1 фарада = $10^{9}$ единиц электрической емкости системы СГСМ.
1 генри = $10^{9}$ единиц индуктивности системы СГСМ.

Это привело к добавлению десятичных коэффициентов в законы Кулона и Ампера, по сравнению с определениями био и франклина. Кроме того, туда же добавились $4\pi$ из-за рационализации систем единиц, и $c$ из-за физического соотношения между электрическими и магнитными полями. Можно было бы оставить $c$ как явно входящий в уравнения коэффициент, но было решено по-другому, сделать уравнения электрические и магнитные уравнения "аналогичными" друг другу. В результате получилось
Определение (в системе СИ)

$$\{\mu_0\}=4\pi\cdot 10^{-7}\quad(\approx 1{,}257\cdot 10^{-6})$$

$$\{\varepsilon_0\}=\left\{\dfrac{1}{\mu_0 c^2}\right\}=\dfrac{10^{7}}{4\pi\cdot\{c\}^2}\quad\left(\approx\dfrac{10^{7}}{4\pi\cdot(2{,}998\cdot 10^{8})^2}\approx 8{,}854\cdot 10^{-12}\right)$$

где фигурные скобки означают численное значение величины (здесь выраженное в системе СИ). Вот если подставить эти определения в формулы СИ, то получатся (с заменой единиц измерения с соответствующими масштабными коэффициентами) формулы СГС.

Например, формула для удельной электрической проводимости в СИ выглядит как $\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}.$ По правилам перевода формул, получаем в Гауссовой:

$$\sqrt{4\pi\varepsilon_0}\,\mathbf{j}=4\pi\varepsilon_0\,\sigma\cdot\dfrac{1}{\sqrt{4\pi\varepsilon_0}}\,\mathbf{E}\quad\Leftrightarrow\quad\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}.$$

С другой стороны, если брать коэффициенты перевода, то будет

$$(10^{-1}\{c\})\cdot(10^{-2})^2\,\mathbf{j}=(10^{-11}\{c\}^2)\,\sigma\cdot(10^6\{c\}^{-1})\,\mathbf{E}\quad\Leftrightarrow\quad\mathbf{j}=\sigma\mathbf{E}.$$

Оба варианта привели к одинаковому по форме результату, причём по форме совпадающему с формулой в СИ. (Надо понимать, что оговорка "по форме" важна, поскольку в первом варианте фактически величина $\mathbf{j}$ уменьшилась на 10 порядков, величина $\sigma$ - на 17 порядков, а величина $\mathbf{E}$ - увеличилась на 7 порядков. В итоге все эти изменения сократились.)

[Утундрий]

Грубо говоря, теория размерностей это такая ископаемая заря группового анализа дифференциальных уравнений, где из всех групп симметрий рассматриваются только растяжения.

[Munin]

Munin в сообщении #503888 писал(а):

Смысл размерностей "человеческий": помогать человеку контролировать, что он там насчитал в формуле, и не напортачил ли. Отсюда, разные системы могут давать одинаковые или разные размерности для разных величин. Чем ближе к технике и примитивным расчётам по формулам и таблицам, тем больше разных размерностей вводится, и наоборот, чем дальше в теорию, тем размерностей меньше. В первом случае часто "размерными" считаются такие единицы, как угловой градус, мм/км, децибел. Во втором - электрическая ёмкость, оказывается, измеряется в сантиметрах, приравниваются к единице скорость света, постоянная Планка, гравитационная постоянная. Зато возникают новые правила, уже не укладывающиеся в схему физических размерностей: порядок малости величины, ранг тензора, природа и положение индексов... Об этой "человечности" стоит помнить, и ею стоит пользоваться. Если вдруг вам почему-то выгодно различать две величины и не смешивать их, сделайте их разной размерности, и получите средство самоконтроля.

[Утундрий]

Оно конешно, но я до сих пор бережно храню в памяти случай, когда некоторое высоко поставленное особо не шмогло решить на практике задачку на применение $\pi$-теоремы (из методички за своим авторством, между прочим), потому как упорно считало калорию несводимой к кг-м-с размерностью